Symbol Legendre’a

Symbol Legendre’a – funkcja ściśle multiplikatywna stosowana w teorii liczb, oznaczana $(a|p)$ lub $\left(\frac{a}{p}\right)$.

Wprowadzony w 1798 przez Legendre’a. Jego uogólnieniem jest symbol Jacobiego.

Definicja

Niech $p>2$ będzie liczbą pierwszą. Liczbę $a$ niebędącą wielokrotnością $p$ nazwiemy resztą kwadratową modulo $p,$ jeśli istnieje liczba całkowita $t$ taka, że $a\equiv t^2(\mathrm{mod}p).$ Fakt ten oznaczymy $a\mathrm{R}p.$ Jeśli taka liczba $t$ nie istnieje, liczbę $a$ nazywamy nieresztą kwadratową modulo $p$, w artykule oznaczamy to jako $a\mathrm{N}p.$ Wielokrotności liczby $p$ nie zaliczamy ani do reszt ani do niereszt.

$\left(\frac{a}{p}\right)=\{\begin{array}{cc}1& \text{gdy }a\mathrm{R}p,\\ -1& \text{gdy }a\mathrm{N}p,\\ 0& \text{gdy }a\equiv 0(\mathrm{mod}p).\end{array}$

Czasami za dziedzinę funkcji nie przyjmuje się wielokrotności $p$.

Własności

• Jeśli $a\equiv b(\mathrm{mod}p),$ to $\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)$.
• Kryterium Eulera jest użyteczne do obliczania wartości symbolu oraz jest używane do dowodzenia innych własności:
  $\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(\mathrm{mod}p)$.
• Symbol Legendre’a jest funkcją ściśle multiplikatywną licznika: $\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right).$ Ta własność jest wnioskiem z kryterium Eulera.
• Najważniejszą własnością jest prawo wzajemności reszt kwadratowych, zwane czasami theorema fundamentale (twierdzenie podstawowe) lub theorema aurerum (twierdzenie złote):
  $p\ne q\Rightarrow \left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}.$
• Tę własność, będącą wnioskiem z kryterium Eulera, nazywa się I uzupełnieniem prawa wzajemności:
  $\left(\frac{-1}{p}\right)=\{\begin{array}{cc}1& \text{gdy }p\equiv 1(\mathrm{mod}4),\\ -1& \text{gdy }p\equiv 3(\mathrm{mod}4).\end{array}$
• Istnieje również II uzupełnienie prawa wzajemności:
  $\left(\frac{2}{p}\right)=\{\begin{array}{cc}1& \text{gdy }p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8),\\ -1& \text{gdy }p\equiv \pm 3(\mathrm{mod}8).\end{array}$

Tabela wartości

Tabela przedstawia wartości funkcji dla $a⩽30$ i $3⩽p⩽127$.

Szablon:Diagonal split header	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
3	Szablon:01	−1	0	Szablon:01	−1	0	1	−1	Szablon:00	1	−1	0	1	−1	0	Szablon:01	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	Szablon:01	−1	0	1	−1	0
5	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0
7	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1
11	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1
13	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1
17	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	0	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1
19	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	0	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1
23	1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	0	1	1	1	1	−1	1	−1
29	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	1	0	1
31	1	1	−1	1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1
37	1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	−1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1
41	1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	−1
43	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	1	1	1	−1	1	1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1
47	1	1	1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	1	1	−1	−1	1	−1	−1	1	1	−1	1	1	−1	−1
53	1	−1	−1	1	−1	1	1	−1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	1	1	−1
59	1	−1	1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1	1	1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	1	1	1	1	1	−1
61	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	−1	1	1	1	1	1	−1	−1	1	1	−1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1
67	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	1	1	1	1	−1	−1	1	−1
71	1	1	1	1	1	1	−1	1	1	1	−1	1	−1	−1	1	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	−1	1	1
73	1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	1	1	−1	1	−1	−1	−1
79	1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	1	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1
83	1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	1	1	1	1	1
89	1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	1	−1	1	1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	−1	−1
97	1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	−1	1	−1	−1	−1
101	1	−1	−1	1	1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	1	−1	1	1	1	1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	1
103	1	1	−1	1	−1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	1	1	1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	−1	1	1	1
107	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	1	1	1	1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	1
109	1	−1	1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	1	1	−1	−1	1	1	1	1	1	−1
113	1	1	−1	1	−1	−1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	−1	1	1	−1	1	−1	1
127	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	−1	1	−1	1	1	1	1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1

Linki zewnętrzne

• Kalkulator symbolu Legendre’a
• Szablon:Otwarty dostęp Legendre symbol Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].