Stopień rozszerzenia ciała

W matematyce, konkretniej teorii ciał, stopień jest w intuicyjnym sensie miarą „rozmiaru” rozszerzenia ciała. Pojęcie to odgrywa ważną rolę w wielu częściach matematyki, w tym w algebrze, teorii liczb i w wielu dziedzinach, gdzie ciała są kluczowymi obiektami algebraicznymi.

Definicje i oznaczenia

Niech że $E/F$ będzie rozszerzeniem ciała. Wtedy $E$ można traktować jako przestrzeń liniową nad $F$ (które odgrywa rolę skalarów). Wymiar tej przestrzeni wektorowej nazywa się stopniem rozszerzenia ciała i jest oznaczany $[E:F].$

Stopień może być skończony lub nieskończony, ciało jest nazywane odpowiednio skończonym rozszerzeniem lub nieskończonym rozszerzeniem. Rozszerzenie $E/F$ czasem nazywane jest po prostu skończonym, jeśli jest skończonym rozszerzeniem; nie należy tego mylić z ciałami skończonymi (ciałami o skończonej liczbie elementów).

Twierdzenie o stopniach rozszerzeń ciał

Dla trzech ciał dla których zachodzi ciąg włożeń $K\hookrightarrow L\hookrightarrow M,$ istnieje prosta zależność między stopniami trzech rozszerzeń $L/K,$ $M/Q$ i $M/Z:$

$[M:K]=[M:L]\cdot [L:K].$

Innymi słowy stopień „dużego” rozszerzenia można obliczyć jako iloczyn pośrednich rozszerzeń. To twierdzenie przypomina twierdzenie Lagrange’a w teorii grup, które łączy rząd grupy i indeks podgrupy; Teoria Galois pokazuje, że ta analogia jest czymś więcej niż tylko zbiegiem okoliczności.

Jeśli $M/K$ jest skończone, to twierdzenie nakłada silne ograniczenia na rodzaj ciał, które mogą wystąpić między $M$ i $K,$ za pomocą prostych arytmetycznych zależności. Na przykład jeśli stopień $[M:K]$ jest liczbą pierwszą $p,$ to dla dowolnego ciała pośredniego $L,$ zachodzi jedno z dwojga: albo $[M:L]=P$ oraz $[L:K]=1,$ w tym przypadku $L$ jest równe $K$ lub $[M:L]=1$ oraz $[L:K]=p,$ w tym przypadku $L$ jest równe $M.$ W takim razie nie istnieje żadne pośrednie rozszerzenie $K$ zawarte w $M.$

Dowód twierdzenia w przypadku skończonym

Niech $K,L,M$ będą ciałami takimi, że $K\hookrightarrow L\hookrightarrow M$ oraz że $d=[L:K]$ i $e=[M:L]$ są skończone. W takim razie istnieje baza $\{u_1,\dots ,u_d\}$ przestrzeni $L$ nad $K$ oraz baza $\{w_1,\dots ,w_e\}$ przestrzeni $M$ nad $L.$ Pokażemy, że elementy $u_m{w}_n,$ tworzą bazę $M/K;$ a że jest ich dokładnie de, to znaczy, że wymiar $M/K$ wynosi de.

Najpierw musimy sprawdzić, że ten zbiór rozpina $M/K.$ Niech $x$ będzie dowolnym elementem $M,$ ponieważ $w_n$ tworzą bazę dla $M$ nad $L,$ możemy znaleźć elementy $a_n$ w $L$ takie, że

$x=\sum _{n=1}^e{a}_n{w}_n=a_1{w}_1+\cdots +a_e{w}_e.$

Wtedy, jako że $u_m$ tworzą bazę dla $L$ nad $K,$ możemy znaleźć elementy $b_{m,n}$ w $K$ takie, że dla każdego $n,$

$a_n=\sum _{m=1}^d{b}_{m,n}{u}_m=b_{1,n}{u}_1+\cdots +b_{d,n}{u}_d.$

Następnie za pomocą rozdzielności i łączności mnożenia w $M$ mamy

$x=\sum _{n=1}^e\left(\sum _{m=1}^d{b}_{m,n}{u}_m\right)w_n=\sum _{n=1}^e\sum _{m=1}^d{b}_{m,n}(u_m{w}_n),$

co pokazuje, że $x$ jest liniową kombinacja $u_m{w}_n$ o współczynnikach z $K;$ innymi słowy, rozpinają one $M$ nad $K.$

Po drugie, musimy sprawdzić, że są one liniowo niezależne nad $K.$ Załóżmy że:

$0=\sum _{n=1}^e\sum _{m=1}^d{b}_{m,n}(u_m{w}_n)$

dla pewnych współczynników $b_{m,n}$ w $K.$ Wtedy mamy:

$0=\sum _{n=1}^e\left(\sum _{m=1}^d{b}_{m,n}{u}_m\right)w_n.$

W takim razie wyrażenia w nawiasie muszą być zerowe, ponieważ są one elementami $L,$ a $w_n$ są liniowo niezależne nad $L.$ Czyli

$0=\sum _{m=1}^d{b}_{m,n}{u}_m$

dla każdego $n.$ Ale, $b_{m,n}$ są współczynnikami w $K$ oraz $u_m$ są liniowo niezależne nad $K,$ musimy mieć, że $b_{m,n}=0$ dla wszystkich $m$ i $n.$ To pokazuje, że elementy $u_m{w}_n$ są liniowo niezależne nad $K.$ To kończy dowód.

Przykłady

• Liczby zespolone są rozszerzeniem ciała nad rzeczywistymi liczbami o stopniu $[𝐂:𝐑]=2,$ w takim razie nie ma nietrywialnych ciał między nimi.
• Rozszerzenie ciała $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}),$ otrzymane przez dołączenie $\sqrt{2},\sqrt{3}$ do ciała liczb wymiernych, Ma stopień 4, czyli $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4.$ Pośrednie ciało $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ma stopień 2 nad $\mathbb{Q};$ z twierdzenia o stopniu rozszerzeń mamy $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]=2.$
• W ciało skończone (ciało Galois) $𝐆𝐅(125)=𝐆𝐅(5^3)$ ma stopień równy 3 nad $𝐆𝐅(5).$ W bardziej ogólnym przypadku, jeśli $p$ jest pierwsze oraz $m,n$ – liczby całkowite dodatnie i $n$ dzieli $m,$ wtedy $[𝐆𝐅(p^m):𝐆𝐅(p^n)]=m/n.$
• Rozszerzenie ciała $𝐂(T)/𝐂,$ gdzie $𝐂(T)$ to ciało funkcji wymiernych nad $𝐂,$ ma nieskończony stopień. Zauważmy, że elementy $1,T,T^2,$ itp. są liniowo niezależne nad $𝐂.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę