Skala betów

Skala betów – rosnący ciągły ciąg liczb kardynalnych indeksowany wszystkimi liczbami porządkowymi, w którym każdy kolejny wyraz jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów wyrazu poprzedniego.

Określenie

Dla każdej liczby kardynalnej $\kappa ,$ symbol $2^{\kappa }$ oznacza moc rodziny wszystkich podzbiorów $\kappa .$

• Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych $\alpha \in 𝐎𝐍$ definiuje się ciąg $⟨{\beth }_{\alpha }:\alpha \in 𝐎𝐍⟩$ (jest to klasa właściwa – zob. paradoks Buralego-Fortiego):

(i) ${\beth }_0={\mathrm{\aleph }}_0$ jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową,

(ii) ${\beth }_{\alpha +1}=2^{{\beth }_{\alpha }},$

(iii) jeśli $\gamma$ jest liczbą graniczną, to

${\beth }_{\gamma }=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\alpha <\gamma }{\beth }_{\alpha }=\bigcup _{\alpha <\gamma }{\beth }_{\alpha }.$

Ciąg $⟨{\beth }_{\alpha }:\alpha \in 𝐎𝐍⟩$ jest nazywany skalą betów lub hierarchią betów.

Konstrukcję tę można uogólnić. Niech $\kappa$ będzie liczbą kardynalną.

• Przez indukcję po liczbach porządkowych $\alpha \in 𝐎𝐍$ zdefiniować można ciąg $⟨{\beth }_{\alpha }(\kappa ):\alpha \in 𝐎𝐍⟩:$

(a) ${\beth }_0(\kappa )=\kappa ,$

(b) ${\beth }_{\alpha +1}(\kappa )=2^{{\beth }_{\alpha }(\kappa )},$

(c) jeśli $\gamma$ jest liczbą graniczną, to

${\beth }_{\gamma }(\kappa )=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\alpha <\gamma }{\beth }_{\alpha }(\kappa )=\bigcup _{\alpha <\gamma }{\beth }_{\alpha }(\kappa ).$

Własności i przykłady

• ${\beth }_{\alpha }={\beth }_{\alpha }({\mathrm{\aleph }}_0)$ dla każdego $\alpha .$
• Przyjmując aksjomatykę Zermela-Fraenkla, hipoteza continuum (CH) to zdanie stwierdzające, że ${\beth }_1={\mathrm{\aleph }}_1,$ a uogólniona hipoteza continuum (GCH) mówi, że $(\mathrm{\forall }\alpha \in 𝐎𝐍)({\beth }_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }).$
• ${\beth }_1$ jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych, a więc także jest mocą zbioru $ℝ$ wszystkich liczb rzeczywistych.
• ${\beth }_2$ jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru $ℝ,$ a więc także mocą zbioru wszystkich funkcji z $ℝ$ w $ℝ.$
• Istnieją liczby porządkowe $\alpha$ takie, że $\alpha ={\beth }_{\alpha }$ (są to tzw. punkty stałe skali betów). Jeśli $\kappa$ jest liczbą silnie nieosiągalną, to ${\beth }_{\kappa }=\kappa ,$ ale punkty stałe skali betów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu ${\beth }_0,{\beth }_{{\beth }_0},{\beth }_{{\beth }_{{\beth }_0}},\dots$
• ${\beth }_{\omega }$ ma tę szczególną własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną silnie graniczną liczbą kardynalną: dla każdej liczby kardynalnej $\kappa <{\beth }_{\omega }$ mamy również $2^{\kappa }<{\beth }_{\omega }.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę