Rozkład Skellama

Szablon:Rozkład prawdopodobieństwa infobox Rozkład Skellama – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa różnicy $n_1-n_2$ dwóch statystycznie niezależnych zmiennych losowych $N_1$ i $N_2,$ z których każdy ma rozkład Poissona z różną wartością oczekiwaną ${\mu }_1$ and ${\mu }_2.$ Jest to przydatne w opisie statystyk różnicy dwóch obrazów z prostym szumem śrutowym, a także w opisie rozkładów zakładów finansowych w niektórych sportach jak baseball, hokej i piłka nożna.

Rozkład ma również zastosowanie w szczególnym przypadku różnicy zależnych zmiennych losowych Poissona, ale właśnie oczywisty przypadek, gdzie dwie zmienne mają wspólny dodatkowy losowy udział, który jest anulowany przez różnicowanie patrz: Karlis i Ntzoufras (2003), gdzie jest więcej informacji i zastosowanie.

Funkcja masy prawdopodobieństwa dla rozkładu Skellama dla różnicy $k=n_1-n_2$ dwóch zmiennych o rozkładzie Poissona ze środkami ${\mu }_1$ i ${\mu }_2$ jest dany przez:

$f(k;{\mu }_1,{\mu }_2)=e^{-({\mu }_1+{\mu }_2)}{\left(\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}\right)}^{k/2}{I}_{|k|}(2\sqrt{{\mu }_1{\mu }_2}),$

gdzie $I_k(z)$ jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju.

Pochodna

Należy zauważyć, że funkcja masy prawdopodobieństwa rozkładu Poissona na $n$ ze średnią $\mu$ jest dana przez

$f(n;\mu )=\frac{{\mu }^n}{n!}{e}^{-\mu },$

dla $n⩾0$ (i zero w przeciwnym wypadku). Funkcja masy prawdopodobieństwa Skellama dla różnicy $k=n_1-n_2$ jest korelacją wzajemną dwóch rozkładów Poissona:

$\begin{array}{cc}& f(k;{\mu }_1,{\mu }_2)\\ =& \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(k+n;{\mu }_1)f(n;{\mu }_2)\\ =& e^{-({\mu }_1+{\mu }_2)}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_1^{k+n}{\mu }_2^{n}n!(k+n)!.\end{array}$

Ponieważ rozkład Poissona ma zero dla ujemnych wartości indeksu, wszystkie człony z ujemnymi silniami powyższej sumy są ustawione na zero. Można wykazać, że powyższe oznacza, że suma

$\frac{f(k;{\mu }_1,{\mu }_2)}{f(-k;{\mu }_1,{\mu }_2)}={\left(\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}\right)}^k$

tak, aby:

$f(k;{\mu }_1,{\mu }_2)=e^{-({\mu }_1+{\mu }_2)}{\left(\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}\right)}^{k/2}{I}_{|k|}(2\sqrt{{\mu }_1{\mu }_2}),$

gdzie $I_k(z)$ jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju. Szczególny przypadek dla ${\mu }_1={\mu }_2(=\mu )$ jest podany przez Irwina (1937):

$f(k;\mu ,\mu )=e^{-2\mu }{I}_{|k|}(2\mu ).$

Należy również zauważyć, że używając granicznych wartości zmodyfikowanej funkcji Bessela dla małych argumentów, możemy odzyskać rozkład Poissona jako szczególny przypadek rozkładu Skellama dla ${\mu }_2=0.$

Właściwości

Ponieważ jest to dyskretna funkcja prawdopodobieństwa, funkcja masy prawdopodobieństwa Skellama jest znormalizowana:

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(k;{\mu }_1,{\mu }_2)=1.$

Wiemy, że funkcja tworząca prawdopodobieństwa (ang. probability generating function – pgf) dla rozkładu Poissona jest:

$G(t;\mu )=e^{\mu (t-1)}.$

Wynika stąd, że pgf, $G(t;{\mu }_1,{\mu }_2)$ dla funkcji prawdopodobieństwem Skellama będzie:

$\begin{array}{cc}& G(t;{\mu }_1,{\mu }_2)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(k;{\mu }_1,{\mu }_2)t^k,\\ =& G(t;{\mu }_1)G(1/t;{\mu }_2),\\ =& e^{-({\mu }_1+{\mu }_2)+{\mu }_{1}t+{\mu }_2/t}.\end{array}$

Zauważmy, że postać funkcji tworzącej prawdopodobieństwa pociąga za sobą to sumy lub różnice dowolnej liczby niezależnych zmienny o rozkładzie Skellama mają również rozkład Skellama. Czasami twierdzi się, że każda kombinacja liniowa dwóch zmiennych o rozkładzie Skellama ma również rozkład Skellama, ale wyraźnie nie jest to prawdą, ponieważ jakikolwiek mnożnik różny niż $\pm 1$ zmieni nośnik funkcji rozkładu.

Funkcja tworząca momenty jest dana przez:

$\begin{array}{cc}& M(t;{\mu }_1,{\mu }_2)\\ =& G(e^t;{\mu }_1,{\mu }_2),\\ =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^k}{k!}{m}_k,\end{array}$

który dostarcza surowe momenty $m_k.$ Zdefiniujmy:

$\mathrm{\Delta }\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\mu }_1-{\mu }_2,$

$\mu \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}({\mu }_1+{\mu }_2)/2.$

Wtedy surowe momenty $m_k$ są

$m_1=\mathrm{\Delta },$

$m_2=2\mu +{\mathrm{\Delta }}^2,$

$m_3=\mathrm{\Delta }(1+6\mu +{\mathrm{\Delta }}^2).$

Momenty centralne $M_k$ są

$M_2=2\mu ,$

$M_3=\mathrm{\Delta },$

$M_4=2\mu +12{\mu }^2.$

Wartość oczekiwana (środek), wariancja, skośność i kurtoza są odpowiednio:

$E(n)=\mathrm{\Delta },$

${\sigma }^2=2\mu ,$

${\gamma }_1=\mathrm{\Delta }/(2\mu {)}^{3/2},$

${\gamma }_2=1/2\mu .$

Funkcja tworząca kumulanty jest dana przez:

$K(t;{\mu }_1,{\mu }_2)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\ln (M(t;{\mu }_1,{\mu }_2))=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^k}{k!}{\kappa }_k,$

która dostarcza kumulanty:

${\kappa }_{2k}=2\mu ,$

${\kappa }_{2k+1}=\mathrm{\Delta }.$

W tym szczególnym przypadku ${\mu }_1={\mu }_2$ ekspansja asymptotyczna zmodyfikowanej funkcji Bessela pierwszego rodzaju dostarcza dla dużych $\mu$:

$f(k;\mu ,\mu )\sim \frac{1}{\sqrt{4\pi \mu }}[1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{\{4k^2-1^2\}\{4k^2-3^2\}\dots \{4k^2-(2n-1{)}^2\}}{n!2^{3n}(2\mu {)}^n}].$

Również w tym szczególnym przypadku, gdy $k$ jest także duże, i rzędu pierwiastka kwadratowego z $2\mu ,$ rozkład zmierza do rozkładu normalnego:

$f(k;\mu ,\mu )\sim \frac{e^{-k^2/4\mu }}{\sqrt{4\pi \mu }}.$

Te szczególne wyniki mogą być łatwo rozszerzone na ogólniejsze przypadki innych sposobów.

Bibliografia

• Abramowitz M. i Stegun I.A. (Red.) (1972), Modified Bessel functions I and K. Części 9.6–9.7 w: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing, s. 374–378. Nowy Jork: Dover.
• Irwin J.O. (1937), The frequency distribution of the difference between two independent variates following the same Poisson distribution. „Journal of the Royal Statistical Society: Series A”, 100 (3), 415–416. [1]
• Karlis D., Ntzoufras I. (2003), Analysis of sports data using bivariate Poisson models, „Journal of the Royal Statistical Society: Series D (The Statistician)”, 52 (3), 381–393. doi:10.1111/1467-9884.00366
• Karlis D., Ntzoufras I. (2006), Bayesian analysis of the differences of count data, „Statistics in Medicine”, 25, 1885–1905. [2]
• Skellam J.G. (1946), The frequency distribution of the difference between two Poisson variates belonging to different populations. „Journal of the Royal Statistical Society: Series A”, 109 (3), 296. [3]