Rozkład Hotellinga

Statystyka T² Hotellinga – uogólnienie rozkładu Studenta, który jest używany do testowania hipotez wielowymiarowych. Nazwa pochodzi od Harolda Hotellinga.

Statystyka Hotellinga jest definiowana jako:

$t^2=n(𝐱-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{𝐖}^{-1}(𝐱-\mathit{\mu }),$

gdzie $n$ jest liczbą obserwacji, $𝐱$ jest p-wymiarową kolumną wektorową, a $𝐖$ jest $p\times p$ macierzą kowariancji.

Jeśli $x\sim N_p(\mu ,𝐕)$ jest zmienną losową z wielowymiarowego rozkładu Gaussa i $𝐖\sim W_p(m,𝐕)$ (niezależne od $x$) ma rozkład Wisharta z taką samą macierzą wariancji $𝐕$ oraz z $m=n-1,$ wówczas rozkład $t^2$ jest $T^2(p,m),$ rozkładem T² Hotellinga z parametrami $p$ i $m.$

Można pokazać, że:

$\frac{m-p+1}{pm}{T}^2\sim F_{p,m-p+1},$

gdzie $F$ jest rozkładem F Snedecora.

Teraz załóżmy, że

${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_n$

jest $p\times 1$ kolumną wektorową, której wartościami są liczby rzeczywiste. Załóżmy, że

$\overline{𝐱}=({𝐱}_1+\dots +{𝐱}_n)/n$

są ich średnią. Niech $p\times p$ będzie macierzą dodatnie określoną

$𝐖=\sum _{i=1}^n({𝐱}_i-\overline{𝐱})({𝐱}_i-\overline{𝐱}{)}^{\prime }/(n-1)$

jest macierzą „przykładowych wariancji”. (Transpozycja jakiejkolwiek macierzy $M$ jest oznaczona jako $M^{\prime }$). Niech $\mu$ będzie znanym $p\times 1$ wektorem. Wówczas statystyka Hotellinga przyjmuje postać:

$t^2=n(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{𝐖}^{-1}(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }).$

Warto zauważyć, że $t^2$ jest blisko powiązona z kwadratem odległością Mahalanobisa.

W szczególności może to być pokazane poprzez:

Jeśli ${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_n\sim N_p(\mu ,𝐕),$ są niezależne, i $\overline{𝐱}$ i $𝐖$ są jak zdefiniowano powyżej, wówczas $𝐖$ ma rozkład Wisharta z $n-1$ stopniami swobody

$𝐖\sim W_p(V,n-1)$

i jest niezależna od $\overline{𝐱},$ oraz

$\overline{𝐱}\sim N_p(\mu ,V/n).$

To oznacza, że:

$t^2=n(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{𝐖}^{-1}(\overline{𝐱}-\mathit{\mu })\sim T^2(p,n-1).$

Statystyka T² Hotellinga dla dwóch prób

Jeśli ${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_{n_x}\sim N_p(\mathit{\mu },𝐕)$ oraz ${𝐲}_1,\dots ,{𝐲}_{n_y}\sim N_p({\mathit{\mu }}_Y,𝐕),$ są próbkami niezależnymi wyciągniętymi z dwóch niezależnych wielowymiarowych rozkładów Gaussa o takiej samej średniej oraz kowariancji, i definiujemy

$\overline{𝐱}=\frac{1}{n_x}\sum _{i=1}^{n_x}{𝐱}_i\overline{𝐲}=\frac{1}{n_y}\sum _{i=1}^{n_y}{𝐲}_i$

jako średnie próbek, oraz

$𝐖=\frac{\sum _{i=1}^{n_x}({𝐱}_i-\overline{𝐱})({𝐱}_i-\overline{𝐱}{)}^{\prime }+\sum _{i=1}^{n_y}({𝐲}_i-\overline{𝐲})({𝐲}_i-\overline{𝐲}{)}^{\prime }}{n_x+n_y-2}$

jako estymator nieobciążonej macierzy kowariancji, wówczas statystyka T² Hotellinga dla dwóch prób wygląda tak:

$t^2=\frac{n_x{n}_y}{n_x+n_y}(\overline{𝐱}-\overline{𝐲}{)}^{\prime }{𝐖}^{-1}(\overline{𝐱}-\overline{𝐲})\sim T^2(p,n_x+n_y-2)$

i może być przedstawiona w postaci rozkładu F Snedecora:

$\frac{n_x+n_y-p-1}{(n_x+n_y-2)p}{t}^2\sim F(p,n_x+n_y-1-p)$.

Zobacz też

• rozkład F Snedecora
• rozkład Studenta