Równoległość w geometrii hiperbolicznej

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Szablon:Spis treści

Zbiór półprostych o początku w punkcie C można podzielić na dwa podzbiory: zbiór półprostych przecinających daną prostą AB i zbiór półprostych nieprzecinających tej prostej. Półproste równoległe oddzielają te dwa zbiory od siebie i nie przecinają prostej AB.

Koncepcja równoległości jest oparta na następującym twierdzeniu geometrii absolutnej[1]:

Dla każdego punktu C i każdej prostej r nieprzechodzącej przez punkt C istnieją dokładnie dwa promienie na płaszczyźnie Cr wychodzące z punktu C, nieprzecinające prostej r i oddzielające wszystkie promienie wychodzące z punktu C, przecinające prostą r od wszystkich pozostałych promieni, nieprzecinających prostej r[uwaga 1][2].

O tych dwóch wyżej wspomnianych promieniach mówi się, że są równoległe do prostej r[3]. Półproste te nie przecinają prostej r. W sytuacji rysunku obok jeden z promieni jest równoległy do prostej r=AB w kierunku promienia AB[uwaga 2], a drugi jest równoległy w kierunku promienia BA. Wynika stąd, że równoległość promienia do prostej (jest w tej definicji pewna asymetria) można przenieść na równoległość promieni:

Promień r jest równoległy do promienia s, jeśli jest równoległy do prostej wyznaczonej przez s w kierunku s lub jeśli jeden z tych promieni jest zawarty w drugim.

W definicji tej brakuje dwóch cech równoległości, które są bardzo ważne: symetrii i przechodniości. Cechy te można udowodnić metodami geometrii absolutnej:

Jeśli promień p jest równoległy do promienia q, to promień q jest równoległy do promienia p[4][5].
Jeśli promień p jest równoległy do promienia q, a promień q jest równoległy do promienia r, to promień p jest równoległy do promienia r[6][7].

Drugie z tych twierdzeń można udowodnić metodami geometrii uporządkowania[uwaga 3]. Zatem równoległość promieni jest relacją równoważności.

Własność równoległości można też wypowiedzieć dla dwóch prostych. Wynika ona z następującego twierdzenia Gaussa:

Równoległość promienia i prostej zachowuje się, gdy zmienimy położenie początku promienia przez odjęcie lub dodanie jakiegokolwiek odcinka[8][9].

Chodzi tu o odjęcie lub dodanie do promienia odcinka leżącego na prostej wyznaczonej przez promień o jednym z końców w początku promienia i obu końcach leżących po tej samej stronie prostej. Wynika stąd następująca definicja:

Dwie proste są równoległe jeśli jedna z nich zawiera promień równoległy do drugiej.

Różne wersje hiperbolicznego aksjomatu równoległości

Równoległe do prostej AB w modelu Poincarégo geometrii hiperbolicznej (prosta – półokrąg prostopadły do absolutu)
Równoległe do prostej AB w modelu Poincarégo geometrii hiperbolicznej (prosta – prostopadła do absolutu)
  1. Dla pewnego punktu A i pewnej prostej p nieprzechodzącej przez A istnieją co najmniej dwie proste równoległe do p przechodzące przez A[10].
  2. Dla każdego punktu A i każdej prostej p nieprzechodzącej przez A istnieją co najmniej dwie proste równoległe do p przechodzące przez A.
  3. Istnieją dwa takie promienie równoległe, dla których suma kątów między nimi i odcinkiem łączącym ich początki jest mniejsza od 180°.
  4. Dla każdych dwóch promieni równoległych, suma kątów między nimi i odcinkiem łączącym ich początki jest mniejsza od 180°[11].

Twierdzenia równoważne hiperbolicznemu aksjomatowi równoległości

  1. Istnieje trójkąt, którego suma kątów jest mniejsza od 180°[12].
  2. Suma kątów każdego trójkąta jest mniejsza od 180°[13][14].
  3. Jeśli dwa’trójkąty są podobne, to są one przystające[13][15].
  4. Istnieje trójkąt, na którym nie można opisać okręgu[15][16].
  5. Nie w każdym trójkącie wysokości przecinają się w jednym punkcie[15].
  6. Punkty jednej z dwóch prostych równoległych nie są w stałej odległości od drugiej z nich. Ekwidystanta jest krzywą niebędącą prostą[15].
  7. Żadne trzy punkty ekwidystanty nie leżą na jednej prostej[17].
  8. Odległość punktów jednej z dwóch prostych równoległych nie są w ograniczonej odległości od drugiej z nich[18].
  9. Prostopadła i pochyła do danej prostej nie zawsze się przecinają[15].
  10. Nie przez każdy punkt wnętrza kąta można poprowadzić prostą przecinającą oba ramiona kąta[15].
  11. Suma kątów trójkąta nie jest stała[19].
  12. Dwa trójkąty są przystające, jeśli ich odpowiednie kąty są równe[20].

Z przechodniości relacji równoległości prostych, tzn. z warunku, że jeśli dwie proste są równoległe do trzeciej, to są równoległe, wynika postulat Euklidesa[uwaga 4].

Własności prostych i promieni równoległych

Dowód twierdzenia Janosa Bolyai.
  • Twierdzenie J. Bolyai’a[uwaga 5]: Jeśli dwa promienie równoległe uzna się za przecinające się w nieskończoności, to kąt między nimi można uznać za równy zero.
Niech punktem przecięcia w nieskończoności promieni równoległych będzie punkt C∞. Niech {Cn} będzie takim ciągiem punktów, że ACk=CkCk+1. Zatem △ACkCk+1 jest równoramienny. Wtedy z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta kąt ∢ACk+1C jest mniejszy od połowy kąta αk=∢ACkC. Jeśli n→∞, to Cn→C∞, czyli αn→∢AC∞C, a αn→0. Dlatego można przyjąć, że ∢AC∞C=0[21].
  • Odległości punktów jednej z prostych równoległych od drugiej maleją do zera w kierunku równoległości i nieograniczenie rosną w kierunku przeciwnym[uwaga 6][22].
  • Równoległość promieni jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią na zbiorze wszystkich promieni geometrii hiperbolicznej. Jest to zatem relacja równoważności.

Zobacz też

Uwagi

Szablon:Uwagi

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

  1. ↑ Szablon:Cytuj książkę
  2. ↑ Szablon:Cytuj książkę
  3. ↑ Coxeter, op. cit., s. 207.
  4. ↑ Coxeter H.S.M., op. cit., s. 287.
  5. ↑ Szablon:Cytuj książkę
  6. ↑ Coxeter H.S.M., op. cit., s. 288.
  7. ↑ Szablon:Cytuj książkę
  8. ↑ Coxeter H.S.M., op. cit., s. 207–208.
  9. ↑ Gauss C.F., op. cit., s. 203.
  10. ↑ Coxeter H.S.M., op. cit., s. 310.
  11. ↑ Szablon:Cytuj książkę
  12. ↑ Szablon:Cytuj książkę
  13. ↑ 13,0 13,1 Иовлев Н.Н., op. cit., s. 13–17.
  14. ↑ Szablon:Cytuj książkę
  15. ↑ 15,0 15,1 15,2 15,3 15,4 15,5 Kostin, op. cit., s. 219.
  16. ↑ Иовлев Н.Н., op. cit., s. 20.
  17. ↑ Szablon:Cytuj książkę
  18. ↑ Иовлев Н.Н., op. cit., s. 21.
  19. ↑ Kostin, op. cit., s. 220–221.
  20. ↑ Kostin, op. cit., s. 221–222.
  21. ↑ Inny dowód w Coxeter, op. cit., s. 289.
  22. ↑ Широков, op. cit., s. 29.


Błąd rozszerzenia cite: Istnieje znacznik <ref> dla grupy o nazwie „uwaga”, ale nie odnaleziono odpowiedniego znacznika <references group="uwaga"/>

Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Równoległość_w_geometrii_hiperbolicznej&oldid=6568”