Trójkąty podobne

Trójkąty podobne

Trójkąty podobne – dwa trójkąty, których odpowiednie boki są parami proporcjonalne, tzn. gdy można dobrać oznaczenia dla wierzchołków w pierwszym i drugim trójkącie odpowiednio: $A,B,C$ oraz $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ tak, aby

$\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{CA}=s,$

gdzie $s$ jest pewną $(s\ne 0)$ liczbą zwaną skalą podobieństwa trójkąta $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ względem $\mathrm{\Delta }ABC.$

Jest to szczególny przypadek podobieństwa dwóch figur.

Podobieństwo trójkątów o ustalonych nazwach wierzchołków symbolicznie zapisujemy $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\sim \mathrm{\Delta }ABC$ i czytamy, że $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ jest podobny do $\mathrm{\Delta }ABC.$

Oczywiście tak zdefiniowane podobieństwo trójkątów jest relacją między dwiema figurami niezależną od sposobu i kolejności oznaczania ich wierzchołków. Czyli jeśli $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\sim \mathrm{\Delta }ABC,$ to także np. $\mathrm{\Delta }{B}^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }\sim \mathrm{\Delta }ACB$ oraz $\mathrm{\Delta }{C}^{\prime }{B}^{\prime }{A}^{\prime }\sim \mathrm{\Delta }BCA.$ Oznacza to, że w napisie $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ układ liter $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ wygodnie jest rozumieć jako zbiór wierzchołków, a nie uporządkowany ciąg wierzchołków.

W ujęciu kleinowskiej teorii niezmienników grupy podobieństw problem (pozornie) upraszcza się, bowiem tam postuluje się istnienie pewnego podobieństwa (czyli funkcji) przenoszącego jeden trójkąt na drugi i wierzchołki obu trójkątów nie muszą być oznaczane.

Relacja podobieństwa w zbiorze trójkątów jest równoważnością.

Jeśli trójkąty są podobne, to:

• wszystkie szczególne odcinki jednego trójkąta (wysokości, środkowe, odcinki dwusiecznych, promienie kół: opisanego i wpisanego itp.) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiego trójkąta w tej samej skali $s,$
• stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Twierdzenia o podobieństwie trójkątów (cechy podobieństwa)

Trójkąty są podobne, jeśli zachodzi którykolwiek z poniższych równoważnych warunków:

1. Cecha bbb (bok-bok-bok) – stosunki długości odpowiednich par boków (z definicji) są równe,
2. Cecha bkb (bok-kąt-bok) – stosunki długości dwóch par boków równe i miary kątów między tymi bokami są równe,
3. Cecha kkk (kąt-kąt-kąt) – zachowane są miary odpowiednich kątów (tu wystarczy równość dwóch par kątów, czyli cecha kk, bo miary kątów trzeciej pary muszą być równe, gdyż suma miar kątów trójkąta jest równa 180°).

Podobieństwo w innych geometriach

Podobieństwo ze wszystkimi jego własnościami występuje jedynie w geometrii euklidesowej. W geometriach eliptycznej i hiperbolicznej równość odpowiednich trzech kątów oznacza równość odpowiednich boków. Sprowadza się to do przystawania trójkątów. I odwrotnie – dla dowolnych dwóch trójkątów, w których długości boków w jednym są różne, ale proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, równości kątów nie są zachowane. Nie będą zachowane także m.in. proporcje wysokości, proporcje środkowych itd.

Ogólnie – podobieństwo jako funkcja zachowująca stosunki odległości dowolnych dwóch punktów w tych geometriach sprowadza się do izometrii.

Zastosowania

Podobieństwo trójkątów ma liczne zastosowania praktyczne i teoretyczne. Oto kilka z nich.

Pomiar wysokości piramidy

Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Oto jak mógł tego dokonać.

Ponieważ trójkąty $OA{A}^{\prime }$ i $OB{B}^{\prime }$ są podobne zachodzi proporcja: $\frac{|OA|}{|A{A}^{\prime }|}=\frac{|OB|}{|B{B}^{\prime }|}$ skąd $|B{B}^{\prime }|=\frac{|A{A}^{\prime }|\cdot |OB|}{|OA|}.$
Znając $|A{A}^{\prime }|$ – długość kija, mierząc $|OA|$ – długość jego cienia i $|OB|$ – długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość.

Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.

Prawdopodobnie jednak Tales wykorzystał prostszy sposób – wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał do chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.

Pomiar odległości statku od brzegu

Nieco inne rozumowanie pozwala obliczyć odległość statku znajdującego się na horyzoncie.

Z podobieństwa trójkątów $O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ i $OAB$ mamy: $\frac{|O{A}^{\prime }|}{|A^{\prime }{B}^{\prime }|}=\frac{|OA|}{|AB|},$ czyli $\frac{|x+A{A}^{\prime }|}{|A^{\prime }{B}^{\prime }|}=\frac{x}{|AB|}$ skąd $x=\frac{|A{A}^{\prime }|\cdot |AB|}{|A^{\prime }{B}^{\prime }|-|AB|}.$

Mierząc długości odcinków występujących w tej równości, wyznaczamy $x.$

Zobacz też

• figury podobne

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta