Kąt równoległości

Szablon:Spis treści Kąt równoległości odpowiadający odległości $a$ – w geometrii hiperbolicznej kąt między prostopadłą, wyprowadzoną z punktu $A$ znajdującego się w odległości $d$ od prostej $p,$ a promieniem $r$ równoległym do prostej $p$ wyprowadzonym z punktu $A.$ Kąt równoległości nazywany jest także kątem Łobaczewskiego i oznaczany jest przez $\mathrm{\Pi }(d)$.

Istnieje taka stała $R$ zależna od skali odległości w przestrzeni hiperbolicznej, że jeśli $d$ jest odległością punktu $A$ od prostej $p,$ to:

$\mathrm{\Pi }(d)=2\mathrm{arctg}{e}^{-\frac{d}{R}}$.

Dwa kąty Łobaczewskiego wyprowadzone z punktu $A;$ promienie równoległe do prostej (kolor niebieski) zaznaczono kolorem purpurowym, a odcinek prostopadły – kolorem zielonym.

Jeśli $B$ jest takim punktem prostej $p,$ że odcinek $AB$ jest prostopadły do $p,$ to możemy napisać:

$\mathrm{\Pi }(AB)=\measuredangle BA{M}_{\mathrm{\infty }}=\measuredangle N_{\mathrm{\infty }}AB,$

gdzie punkty $M_{\mathrm{\infty }}$ i $N_{\mathrm{\infty }}$ są punktami w nieskończoności.

Kąty Łobaczewskiego w modelu Poincarégo oznaczone purpurową literą α.

Własności

• Wzór na kąt równoległości można też zapisać następująco:

$\mathrm{tgh}\frac{d}{R}=\cos \mathrm{\Pi }(d).$

Wystarczy w tym celu do wzoru

$\cos \alpha =\frac{1-{\mathrm{tg}}^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\mathrm{tg}}^2\frac{\alpha }{2}}$

podstawić $\alpha =\mathrm{\Pi }(d),$ a następnie skorzystać ze wzoru

$\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\Pi }(d)}{2}=e^{-\frac{d}{R}}$

oraz licznik i mianownik powstałego ułamka pomnożyć przez $e^{\frac{d}{R}}.$

• Z punktu $A$ można wyprowadzić dwa różne promienie równoległe do prostej $p.$ Oba te promienie są położone symetrycznie względem prostopadłej do prostej $p$ poprowadzonej z punktu $A$ i dlatego tworzą z tą prostopadłą ten sam kąt $\mathrm{\Pi }(AB)$.
• Na rysunku mamy dwa przystające trójkąty asymptotyczne prostopadłe: $ABN$ i $ABM.$ Z własności trójkątów asymptotycznych prostopadłych wynika, że $\mathrm{\Pi }(AB)$ jest funkcją.
• Jeśli $AB>CD,$ to $\mathrm{\Pi }(AB)<\mathrm{\Pi }(CD).$ Zatem funkcja $\mathrm{\Pi }(x)$ jest funkcją różnowartościową.
• Trójkąt NAM jest trójkątem podwójnie asymptotycznym. Kąt przy wierzchołku $A$ jest równy $2\mathrm{\Pi }(AB).$ Pozostałe kąty zgodnie z twierdzeniem Bolyai są kątami zerowymi.
• $\underset{d\to 0}{\lim }\mathrm{\Pi }(d)=\frac{\pi }{2},\underset{d\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Pi }(d)=0$.

Zobacz też

• równoległość w geometrii hiperbolicznej
• trójkąt asymptotyczny
• trójkąt podwójnie asymptotyczny
• trójkąt potrójnie asymptotyczny
• defekt trójkąta
• model Poincarégo
• prosta pochyła
• proste nadrównoległe
• punkt w nieskończoności w geometrii hiperbolicznej

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę