Równanie fali elektromagnetycznej

Równanie fali elektromagnetycznej – równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące rozchodzenie się fali elektromagnetycznej w ośrodku lub próżni. Równanie wyrażone z użyciem pola elektrycznego E lub pola magnetycznego B ma postać jednorodną:

$({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{{c_m}^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐄=0,$

$({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{{c_m}^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐁=0,$

gdzie c_m to prędkość światła w ośrodku materialnym. Dla próżni c_m = c = 299 792 458 m/s.

Równanie fali elektromagnetycznej wyprowadza się z równań Maxwella.

Prędkość propagacji

W próżni

Jeżeli fala rozchodzi się w próżni, to

$c_m=c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}=2,99792458\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$

oznacza prędkość światła w próżni – stałą fizyczną, która definiuje metr, podstawową jednostkę długości w układzie SI. Przenikalność magnetyczna ${\mu }_0$ i przenikalność elektryczna próżni ${\epsilon }_0$ to ważne stałe fizyczne odgrywające ważną rolę w teorii elektromagnetyzmu. Ich wartości (w jednostkach układu SI) podano w tabeli poniżej:

Stała	Nazwa	Wartość liczbowa	Jednostka (układ SI)	Rodzaj
$c$	prędkość światła w próżni	$299792458$	metrów na sekundę	zdefiniowana
${\epsilon }_0$	przenikalność elektryczna próżni	$8,854187817...\times 10^{-12}$	faradów na metr	wyprowadzona; $\frac{1}{{\mu }_0{c_0}^2}$
${\mu }_0$	przenikalność magnetyczna próżni	$4\pi \times 10^{-7}$	henrów na metr	zdefiniowana
${\mathbb{Z}}_0$	impedancja falowa próżni	$376,730313461...$	omy	wyprowadzona; ${\mu }_0{c}_0$

W ośrodku materialnym

Prędkość światła w liniowym, izotropowym niedyspersyjnym ośrodku materialnym wynosi

$c_m=\frac{c}{n}=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }},$

gdzie

$n=\sqrt{\frac{\mu \epsilon }{{\mu }_0{\epsilon }_0}}$

jest współczynnikiem załamania ośrodka, $\mu$ jest przenikalnością magnetyczna ośrodka, a $\epsilon$ przenikalnością elektryczną ośrodka.

Pochodzenie równania fali elektromagnetycznej

Zasada zachowania ładunku

Zasada zachowania ładunku wymaga, aby tempo zmiany całkowitego ładunku zamkniętego w objętości V było równe sumie algebraicznej prądów płynących przez powierzchnię S otaczającą tę objętość:

$\underset{S}{\oint }𝐣\cdot d𝐀=-\frac{d}{dt}\underset{V}{\int }\rho \cdot dV,$

gdzie j to gęstość prądu (w amperach na metr kwadratowy) płynącego przez powierzchnie, a ρ – gęstość ładunku elektrycznego (w kulombach na metr sześcienny) w każdym punkcie objętości V.

Korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wyrażenie to można przekształcić z postaci całkowej na postać różniczkową:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=-\frac{\partial \rho }{\partial t}.$

Prawo Ampère’a przed poprawką Maxwella

W swojej oryginalnej postaci prawo Ampera wiąże pole magnetyczne B z gęstością objętościową prądu j:

$\underset{C}{\oint }𝐁\cdot d𝐥=\underset{S}{\iint }\mu 𝐣\cdot d𝐀,$

gdzie S to otwarta powierzchnia rozpięta na krzywej C. Postać całkową można zamienić na postać różniczkową, korzystając z twierdzenia Stokesa:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐣.$

Niespójność prawa Ampera i zasady zachowania ładunku

Stosując dywergencje po obu stronach prawa Ampera, otrzymujemy:

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=\mathrm{\nabla }\cdot {\mu }_0𝐣.$

Dywergencja z rotacji dowolnego pola wektorowego (tym samym pola magnetycznego B) zawsze jest równa zero:

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=0.$

Łącząc te dwa równania, otrzymujemy

$\mathrm{\nabla }\cdot {\mu }_0𝐣=0.$

Ponieważ ${\mu }_0$ to niezerowa stała, możemy stwierdzić

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=0.$

Co jest sprzeczne z zasada zachowania ładunku, która mówi, że

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=-\frac{\partial \rho }{\partial t}.$

Dlatego, tak jak w przypadku prawa Kirchhoffa, prawo Ampera obowiązuje tylko wówczas, gdy gęstość ładunku jest stała, co wyklucza sytuację, która ma miejsce podczas ładowania i rozładowywania kondensatora.

Poprawka Maxwella do prawa Ampera

Prawo Gaussa w postaci całkowej można zapisać równaniem

$\underset{S}{\oint }𝐄\cdot d𝐀=\frac{1}{{\epsilon }_0}\underset{V}{\int }\rho \cdot dV,$

gdzie S to zamknięta powierzchnia obejmująca objętość V. Postać całkową możemy zamienić na postać różniczkową, korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa:

$\mathrm{\nabla }\cdot {\epsilon }_0𝐄=\rho .$

Różniczkując obie strony po czasie i zmieniając kolejność różniczkowania po lewej stronie równania, otrzymujemy:

$\mathrm{\nabla }\cdot {\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}=\frac{\partial \rho }{\partial t}.$

To prowadzi do wniosku, że oprócz gęstości prądu j źródłem pola magnetycznego jest też tzw. prąd przesunięcia:

$\frac{\partial 𝐃}{\partial t}={\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}.$

Tak więc prawo Ampera w postaci uogólnionej wyraża równanie

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐣+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}.$

Hipoteza Maxwella o świetle jako fali elektromagnetycznej

Pocztówka od Maxwell do Petera Taita

W swojej pracy z roku 1864 zatytułowanej Dynamiczna teoria pola elektromagnetycznego Maxwell wykorzystał swoją poprawkę do prawa Ampera, którą opublikował w trzeciej części pracy z 1861 roku pt. O fizycznych liniach sił. W części czwartej zatytułowanej Elektromagnetyczna teoria światła Maxwell powiązał prąd przesunięcia z innymi równaniami elektromagnetyzmu i otrzymał równanie fali o prędkości równej prędkości światła. Komentując to:

Zgodność wyników pozwala stwierdzić, że światło i magnetyzm są manifestacją tegoż samego zjawiska, tak więc światło zgodnie z prawami elektromagnetyzmu jest elektromagnetycznym zaburzeniem rozchodzącym się w polu.

Maxwellowskie wyprowadzenie równania fali elektromagnetycznej we współczesnej fizyce zastąpione zostało bardziej przystępną metodą, korzystającą z poprawionego prawa Ampera i prawa Faradaya.

Aby otrzymać równanie fali elektromagnetycznej współczesną metodą, korzystamy z postaci równań Maxwella opracowanych przez Heaviside’a. Dla próżni równania te przybierają postać:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=0,$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t},$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0,$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}.$

Działając operatorem rotacji na obie strony równań zawierających operator rotacji, otrzymujemy:

$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times 𝐁=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2},$

$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-{\mu }_o{\epsilon }_o\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}.$

Korzystając z tożsamości wektorowej

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐕)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐕,$

gdzie $𝐕$ to dowolna funkcja wektorowa przestrzeni, otrzymujemy równania falowe:

$\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}-c^2\cdot {\mathrm{\nabla }}^2𝐄=0,$

$\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}-c^2\cdot {\mathrm{\nabla }}^2𝐁=0,$

gdzie

$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}=2,99792458\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$

to prędkość światła w próżni.