Równania Maxwella we współrzędnych krzywoliniowych

Plik:BBH gravitational lensing of gw150914.webm

Symulacja komputerowa układu GW150914 dwóch czarnych dziur widziana przez pobliskiego obserwatora podczas ostatnich 0,33 s przed ich połączeniem. Światło idące od gwiazd znajdujących się za czarnymi dziurami jest mocno zniekształcane na skutek ekstremalnie silnego efektu soczewkowania grawitacyjnego i zniekształcania czasoprzestrzeni, która jest ciągnięta wokół obracających się czarnych dziur: dlatego gwiazdy zdają się poruszać i obracać.

Plik:Gravitational lensing of distant star-forming galaxies (schematic) -vid-.webm

Pokaz, w jaki sposób światło z odległej galaktyki jest zakrzywiane na skutek grawitacyjnego zniekształcenia czasoprzestrzeni przez inną galaktykę, która działa jak soczewka i tworzy zamiast punktu okrąg świetlny, zwany pierścieniem Einsteina.

Równania Maxwella we współrzędnych krzywoliniowych – równania Maxwella zapisane w układzie współrzędnych krzywoliniowych. Równania te opisują dynamikę pola elektromagnetycznego oraz cząstek materii poddanych oddziaływaniom tych pól. Mają szczególne zastosowanie w zakrzywionej czasoprzestrzeni, gdzie metryka w ogólności różni się od metryki płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego (zmiana metryki czasoprzestrzeni według ogólnej teorii względności powstaje na skutek obecności materii i energii, i tym tłumaczy pojawianie się pola grawitacyjnego).

W zakrzywionej czasoprzestrzeni tory cząstek masowych są liniami geodezyjnymi, innymi niż tory prostoliniowe. Obecność pola elektromagnetycznego dodatkowo zmienia te tory.

Także promienie świetlne poruszają się nie po prostych euklidesowych – jak to jest w płaskiej czasoprzestrzeni – ale po tzw. liniach geodezyjnych zerowych. W silnych polach grawitacyjnych (np. w pobliżu czarnych dziur) lub po przejściu światłą na wielkich dystansach w oddziaływaniu np. z galaktykami występuje efekt zakrzywiania biegu (tzw. soczewkowanie grawitacyjne).

Równania te są uogólnieniem równań Maxwella w próżni, które zazwyczaj są formułowane w lokalnych układach współrzędnych w płaskiej czasoprzestrzeni. Jednakże ogólna teoria względności wskazuje, iż obecność pola elektromagnetycznego (lub energii i materii w ogólności) powoduje zmianę metryk, równania Maxwella w płaskiej czasoprzestrzeni powinny być rozumiane jako przybliżenie.

W opisie zjawisk elektromagnetycznych w obecności materii zazwyczaj odróżnia się ładunki związane i swobodne. Bez tego odróżnienia równania Maxwella w próżni nazywa się „mikroskopowymi”, a gdy robi się to odróżnienie, to równania te nazywa się „makroskopowymi”.

Równania Maxwella są niezmiennicze, tzn. ich postać nie zależy od tensora metrycznego, a więc są identyczne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej tensorem metrycznym Minkowskiego), jak i zakrzywionej czasoprzestrzeni (np. w pobliżu masywnego obiektu, gdzie obowiązuje metryka Schwarzschilda), jak również nie zależą od przyjętego układu współrzędnych krzywoliniowych (np. część przestrzenną czasoprzestrzeni można przedstawić zarówno we współrzędnych prostokątnych, czyli kartezjańskich, sferycznych, jak i dowolnych współrzędnych krzywoliniowych).

Z powyższych względów równania Maxwella w czasoprzestrzeni Minkowskiego trzeba rozumieć jako szczególny przypadek równań podanych dla współrzędnych krzywoliniowych.

Tensor pola elektromagnetycznego

Równania pola elektromagnetycznego zapisane w szczególnej teorii względności łatwo uogólnić tak, by były słuszne w dowolnym czterowymiarowym układzie współrzędnych, a więc z dowolnym tensorem metrycznym – ogólność ta obejmuje zarówno zapis równań w dowolnych współrzędnych krzywoliniowych, jak i w przypadku, gdy występuje pole grawitacyjne.

Tensor pola elektromagnetycznego w szczególnej teorii względności jest równy

$F_{\mu \nu }=\frac{\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}-\frac{\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }},$

gdzie $A$ jest czteropotencjałem pola elektromagnetycznego. Zgodnie z ogólną zasadą przy przejściu ze współrzędnych kartezjańskich do krzywoliniowych pochodne cząstkowe przechodzą na pochodne kowariantne; stąd mamy $F_{\mu \nu }=A_{\mu ;\nu }-A_{\nu ;\mu }.$

Jednak człony zawierające symbole Christoffela kasują się i otrzymuje się wyrażenia identyczne jak we współrzędnych kartezjańskich, czyli

$F_{\mu \nu }=A_{\mu ;\nu }-A_{\nu ;\mu }=\frac{\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}-\frac{\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}.$

Pierwsza para równań Maxwella

W konsekwencji pierwsza para równań Maxwella nie zmienia postaci

${\partial }_i{F}_{jk}+{\partial }_j{F}_{ki}+{\partial }_k{F}_{ij}=0.$

Równanie to zawiera prawo indukcji Faradaya oraz prawo Gaussa dla elektromagnetyzmu. Wstawiając potencjały pole mamy

${\partial }_i{\partial }_j{A}_k-{\partial }_i{\partial }_k{A}_j+{\partial }_j{\partial }_k{A}_i-{\partial }_j{\partial }_i{A}_k+{\partial }_k{\partial }_i{A}_j-{\partial }_k{\partial }_j{A}_i=0.$

Czterowektor gęstości prądu

Jeżeli w przestrzeni znajduje się pewien rozkład cząstek naładowanych, który można uśrednić i traktować jako ciągły, to można wprowadzić pojęcie czterowektora gęstości prądu w danym punkcie, związanego z poruszającymi się ładunkamiSzablon:Odn

$j^a=\rho \frac{\partial x^a}{\partial t}=(\rho c,\rho \overrightarrow{v}),$

gdzie $\rho =\gamma {\rho }_0$ – relatywistyczna gęstość ładunku, przy czym:

• ${\rho }_0$ – gęstość ładunku nieruchomego w infinitezymalnym otoczeniu danego punktu,
• $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},$
• $\overrightarrow{v}=(v_x,v_y,v_z)$ – prędkość ładunków względem obserwatora.

Druga para równań Maxwella

Druga para równań Maxwella ma w układzie kartezjańskim postaćSzablon:Odn

$\frac{\partial F^{ai}}{\partial x^i}=-\frac{4\pi }{c}{j}^a.$

Przejście do współrzędnych krzywoliniowych wymaga jedynie zmiany pochodnych cząstkowych na pochodne kowariantne

$F_{;i}^{ai}=-\frac{4\pi }{c}{j}^a.$

Powyższe wyrażenie zawiera dywergencję we współrzędnych krzywoliniowych; tensor $F^{ai}$ jest antysymetryczny; dywergencja tensora antysymetrycznego ma postać (por. dywergencja kowariantna)Szablon:Odn

$\mathrm{div}(F)\equiv F_{;i}^{ai}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial \left(\sqrt{|g|}{F}^{ai}\right)}{\partial x^i},$

gdzie:

$|g|$ – moduł wyznacznika tensora metrycznego współrzędnych krzywoliniowych w danym punkcie.

Stąd druga para równań Maxwella przyjmuje postać

$\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial \left(\sqrt{|g|}{F}^{ai}\right)}{\partial x^i}=-\frac{4\pi }{c}{j}^a.$

Równanie ruchu cząstki

(1) Równanie ruchu cząstki swobodnej w płaskiej czasoprzestrzeni: cząstka nie podlega oddziaływaniom i jej przyspieszenie jest zerowe, tj.Szablon:Odn

$\mathrm{d}{u}^a/\mathrm{d}s=0,$

gdzie $u^a$ – czteroprędkość cząstki, $\mathrm{d}s$ – różniczkowy przyrost tzw. interwału czasoprzestrzennego mierzony wzdłuż trajektorii cząstki; równoważnie można zapisać, że różniczka 4-prędkości cząstki zeruje się, tj.

$\mathrm{d}{u}^a=0.$

(2) Równanie ruchu cząstki swobodnej w zakrzywionej czasoprzestrzeni

Przechodząc do układu współrzędnych krzywoliniowych równanie ruchu cząstki nie podlegającej oddziaływaniom należy zmodyfikować zamieniając różniczkę zupełną na różniczkę absolutną, tj.Szablon:Odn

$\mathrm{D}{u}^a=0.$

Różniczka absolutna wektora kowariantnego dana jest zależnością

$\mathrm{D}{u}^a=(\frac{\partial u^a}{\partial x^l}+{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^a{u}^k)\mathrm{d}{q}^l$

lub

$\mathrm{D}{u}^a=\mathrm{d}{u}^a+{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^a{u}^k\mathrm{d}{x}^l,$

gdzie:

$\mathrm{d}{u}^a=\frac{\partial u^a}{\partial x^l}\mathrm{d}{x}^l$ – różniczka 4-prędkości cząstki.

Stąd mamy równanie ruchu cząstki w układzie krzywoliniowym

$\mathrm{d}{u}^a+{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^a{u}^k\mathrm{d}{x}^l=0.$

Dzieląc przez $\mathrm{d}s$ i uwzględniając, że $\mathrm{d}{u}^a=\mathrm{d}{x}^a/\mathrm{d}s,$ znajdujemy

$\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^a}{\mathrm{d}{s}^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^a\frac{\mathrm{d}{x}^k}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}{x}^l}{\mathrm{d}s}=0.$

Jest to równanie linii geodezyjnej w przestrzeni z metryką $g_{ij}$ (od której zależą m.in. symbole Christoffela ${\mathrm{\Gamma }}_{kl}^a$). Przy tym, jeżeli przestrzeń jest pozbawiona źródeł pola grawitacyjnego, to symbole Christoffela ${\mathrm{\Gamma }}_{kl}^a$ są takie, że zerują tensor krzywizny i równania geodezyjnych sprowadzają się do prostych euklidesowych; jeżeli jednak przestrzeń jest zakrzywiona na skutek obecności materii, to tensor krzywizny jest niezerowy, a geodezyjne są inne niż proste euklidesowe.

(3) Równanie ruchu cząstki w płaskiej czasoprzestrzeni w polu elektromagnetycznym

Cząstka podlega oddziaływaniom z polem elektromagnetycznym i jej przyspieszenie jest zerowe, tj.Szablon:Odn

$mc\frac{\mathrm{d}{u}^a}{\mathrm{d}s}=\frac{e}{c}{F}^{ik}{u}_k.$

(4) Równanie ruchu cząstki w zakrzywionej czasoprzestrzeni w polu elektromagnetycznym

Zmieniamy pochodną zupełną $\mathrm{d}{u}^a/\mathrm{d}s$ na pochodną absolutną $\mathrm{D}{u}^a/\mathrm{d}s$Szablon:Odn

$mc\frac{\mathrm{D}{u}^a}{\mathrm{d}s}=\frac{e}{c}{F}^{ik}{u}_k,$

czyli

$mc(\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^a}{\mathrm{d}{s}^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^a\frac{\mathrm{d}{x}^k}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}{x}^l}{\mathrm{d}s})=\frac{e}{c}{F}^{ak}{u}_k.$

Jest to równanie na trajektorię cząstki o ładunku $e,$ masie $m,$ poruszającej się w polu elektromagnetycznym $F^{ik}$ i w polu grawitacyjnym zadanym metryką $g_{ij}$ (od której zależą m.in. symbole Christoffela ${\mathrm{\Gamma }}_{kl}^a$). Gdyby pole elektromagnetyczne było zerowe lub bardzo słabe, to cząstka poruszałaby się po linii geodezyjnej właściwej dla zakrzywionej czasoprzestrzeni. Obecność pola modyfikuje ten tor.

Zobacz też

• ogólna teoria względności
• równania Maxwella
• tensorowe równania Maxwella
• wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda

Wiadomości z matematyki

• pochodna kowariantna
• współrzędne krzywoliniowe

Bibliografia

• L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola. Warszawa: PWN, 2009.