Wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda

Rozwiązanie Schwarzschilda – to rozwiązanie równań pola Einsteina, podające postać metryki czasoprzestrzeni w pobliżu nierotującego, masywnego, sferyczno-symetrycznego ciała. Spośród rozwiązań równań pola Einsteina rozwiązanie to jest uważane za jedno z najprostszych, a zarazem najbardziej użytecznych.

Założenia

Współrzędne sferyczne oraz czas $(r,\theta ,\varphi ,t)$ będą numerowane indeksami od 1 do 4. Metryka w ogólności ma 10 niezależnych składników, które są gładkimi funkcjami 4 zmiennych. Zakłada się tu, że rozwiązanie na metrykę jest sferycznie symetryczne, statyczne (niezmienne w czasie) oraz dotyczy próżni; konsekwencją tego jest, że:

1. sferycznie symetryczna czasoprzestrzeń jest niezmienna przy obrotach i przy odbiciach lustrzanych,
2. niezależność składowych metryki od czasu oznacza, że $\frac{\partial }{\partial t}{g}_{\mu \nu }=0,$ a także, że geometria czasoprzestrzeni nie zmienia się przy odwróceniu czasu $t\to -t,$
3. rozwiązanie w próżni oznacza, że $T_{ab}=0;$ z równań Einsteina wynika (przy założeniu zerowej wartości stałej kosmologicznej), że $R_{ab}=0$ ponieważ kontrakcja równania $R_{ab}-\frac{R}{2}{g}_{ab}=0$ daje $R=0.$

W artykule użyto sygnatury metryki (+,+,+,−).

Diagonalność metryki

Pierwszym krokiem jest zauważenie, że metryka jest diagonalna.

Uzasadnienie:

(1) Pod wpływem odwrócenia czasu $(r,\theta ,\varphi ,t)\to (r,\theta ,\varphi ,-t)$ wszystkie składniki metryki powinny zostać bez zmian. Składowe $g_{\mu 4}(\mu \ne 4)$ zmieniają się jednak pod wpływem tej transformacji, bo

$g_{{\mu }^{\prime }4}=\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\text{'}\mu }}\frac{\partial x^{\beta }}{\partial x^{\text{'}4}}{g}_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}(\mu \ne 4),$

natomiast bez zmian pozostaje składowa czasowa

$g{\text{'}}_{44}=g_{44}.$

Ostatecznie wiec mamy

$g_{\mu 4}=0(\mu \ne 4).$

(2) Podobnie, transformacja współrzędnych przestrzennych $(r,\theta ,\varphi ,t)\to (r,\theta ,-\varphi ,t)$ oraz $(r,\theta ,\varphi ,t)\to (r,-\theta ,\varphi ,t)$ prowadzi do wniosku, że:

$g_{\mu 3}=0(\mu \ne 3),$

$g_{\mu 2}=0(\mu \ne 2).$

(3) Podobnie dla symetrycznych składników tensorami metrycznego mamy

$g_{4^{\prime }\mu }=\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\text{'}4}}\frac{\partial x^{\beta }}{\partial x^{\text{'}\mu }}{g}_{\alpha \beta }=-g_{4\mu }(\mu \ne 4),$

co oznacza że

$g_{4\mu }=0(\mu \ne 4)$

itd.

(4) Zbierając powyższe wyniki, mamy:

$g_{\mu \nu }=0(\mu \ne \nu ),$

czyli metryka ma postać diagonalną $d{s}^2=g_{11}d{r}^2+g_{22}d{\theta }^2+g_{33}d{\varphi }^2+g_{44}d{t}^2,$

przy czym składowe metryki są niezależne od czasu $t$ (statyczne rozwiązanie).

Upraszczanie składników

Na każdej hiperpowierzchni o stałym czasie $t,$ stałym $\theta$ oraz stałym $\varphi$ (tj. na każdej linii radialnej), $g_{11}$ powinno zależeć tylko od $r$ (ze względu na symetrię sferyczną). Dlatego $g_{11}$ jest funkcją tylko jednej zmiennej $g_{11}=A(r).$ Podobny argument stosuje się do $g_{44}:$

$g_{44}=B(r).$

Na hiperpowierzchni o stałym czasie $t$ oraz stałym $r,$ metryka musi być metryką 2-wymiarowej sfery:

$d{l}^2=r_0^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2).$

Wybierając jedną z tych hiperpowierzchni (np. mającą promień $r_0$), składniki metryki ograniczonej do hiperpowierzchni (które oznaczymy przez ${\tilde{g}}_{22}$ oraz ${\tilde{g}}_{33}$) powinny pozostać bez zmian przy obrotach o kąty $\theta$ oraz $\varphi$ (ponownie na skutek symetrii sferycznej). Porównując formę metryki na tej hiperpowierzchni, otrzymamy

${\tilde{g}}_{22}(d{\theta }^2+\frac{{\tilde{g}}_{33}}{{\tilde{g}}_{22}}d{\varphi }^2)=r_0^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2),$

co natychmiast daje

${\tilde{g}}_{22}=r_0^2$ oraz ${\tilde{g}}_{33}=r_0^2{\sin }^2\theta .$

Ale ponieważ musi być to słuszne na dowolnej hiperpowierzchni, to

$g_{22}=r^2$ oraz $g_{33}=r^2{\sin }^2\theta .$

Alternatywny sposób: można intuicyjnie zrozumieć, że $g_{22}$ oraz $g_{33}$ muszą być takie same jak dla płaskiej czasoprzestrzeni, jeżeli spostrzeżemy, że rozciąganie lub ściskanie elastycznej piłki w radialnie nie zmienia kątowych odległości między jej punktami. Dlatego metryka musi mieć postać

$d{s}^2=A(r)d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2+B(r)d{t}^2,$

gdzie $A$ oraz $B$ są pewnymi funkcjami $r.$ Zauważmy, że jeżeli $A$ lub $B$ byłyby równe zeru w pewnym punkcie, to metryka byłaby w tym punkcie osobliwa.

Obliczanie symboli Christoffela

Za pomocą powyższej metryki obliczamy symbole Christoffela, przy czym indeksy są następujące:$(1,2,3,4)=(r,\theta ,\varphi ,t);$ znak ${\displaystyle }$ oznacza pochodną zupełną funkcji:

${\mathrm{\Gamma }}_{ik}^1=\left[\begin{array}{cccc}{A}^{\prime }/(2A)& 0& 0& 0\\ 0& -r/A& 0& 0\\ 0& 0& -r{\sin }^2\theta /A& 0\\ 0& 0& 0& -B^{\prime }/(2A)\end{array}\right]$

${\mathrm{\Gamma }}_{ik}^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 1/r& 0& 0\\ 1/r& 0& 0& 0\\ 0& 0& -\sin \theta \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

${\mathrm{\Gamma }}_{ik}^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1/r& 0\\ 0& 0& \mathrm{ctg}\theta & 0\\ 1/r& \mathrm{ctg}\theta & 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

${\mathrm{\Gamma }}_{ik}^4=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& B^{\prime }/(2B)\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ B^{\prime }/(2B)& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Użycie równań pola do znalezienia A(r) oraz B(r)

Aby określić funkcje $A$ oraz $B,$ używamy równań pola w próżni, tj.

$R_{\alpha \beta }=0.$

Stąd

${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \alpha ,\rho }^{\rho }-{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \alpha ,\beta }^{\rho }+{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\beta \alpha }^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{\beta \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \alpha }^{\lambda }=0,$

gdzie symbole po przecinku oznaczają pochodne po zmiennej o danym indeksie. Tylko trzy spośród tych równań są nietrywialne i po uproszczeniu przyjmują postać

(1) $4A^{\prime }{B}^2-2r{B}^{″}AB+r{A}^{\prime }{B}^{\prime }B+rB{\text{'}}^{2}A=0,$

(2) $r{A}^{\prime }B+2A^{2}B-2AB-r{B}^{\prime }A=0,$

(3) $-2r{B}^{″}AB+r{A}^{\prime }{B}^{\prime }B+rB{\text{'}}^{2}A-4B^{\prime }AB=0.$

czwarte równanie jest równe ${\sin }^2\theta$ mnożone równanie (2), gdzie apostrof oznacza pochodną funkcji po r. Dodając równania (1) i (3), dostajemy

$A^{\prime }B+A{B}^{\prime }=0\Rightarrow A(r)B(r)=K,$

gdzie $K$ jest stałą rzeczywistą, różną od zera. Podstawienie $A(r)B(r)=K$ do równania (2) daje równanie

$r{A}^{\prime }=A(1-A),$

które ma ogólne rozwiązanie

$A(r)={(1+\frac{1}{Sr})}^{-1},$

dla pewnych niezerowych wartości $S.$ Stąd metryka dla stałych, sferycznie symetrycznych rozwiązań w próżni przyjmuje postać:

$d{s}^2={(1+\frac{1}{Sr})}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)+K(1+\frac{1}{Sr})d{t}^2.$

Zauważmy, że czasoprzestrzeń o takiej metryce jest asymptotycznie płaska, tj. dla $r\to \mathrm{\infty }$ metryka przechodzi w metrykę Minkowskiego i rozmaitość czasoprzestrzeni staje się przestrzenią Minkowskiego.

Zobacz też

• linie geodezyjne w metryce Schwarzschilda
• metryka Schwarzschilda
• równanie Einsteina
• współrzędne krzywoliniowe

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Waner, Stefan, Introduction to Differential Geometry & General Relativity (PDF) Od 2015-04-05.