Przestrzeń Urysohna (topologia ogólna)

Przestrzeń Urysohna (albo przestrzeń T_2½) – przestrzeń topologiczna o tej własności, że każde dwa jej różne punkty mają otoczenia, których domknięcia są rozłączne. Własność bycia przestrzenią Urysohna zalicza się do własności oddzielania. Przestrzenie o tej własności rozważał po razu pierwszy Paweł Urysohn. Pojęcie przestrzeni Urysohna jest różne od pojęcia przestrzeni całkowicie T₂.

Przykłady i własności

• Każda regularna przestrzeń T₁ jest przestrzenią Urysohna.
• Istnieje semiregularna przestrzeń Urysohna, która nie jest regularna. Istnieje przestrzeń Hausdorffa, która nie jest przestrzenią Urysohna.
• Istnieje przestrzeń Urysohna, będąca przestrzenią Hausdorffa, która nie jest semiregularna: Niech w zbiorze liczb rzeczywistych będzie dana topologia dyskretna. Rozważmy zbiór

$X=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\}\cup \{p_n:n\in \mathbb{N}\},$

gdzie $-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$ oraz punkty $p_n$ nie należą do zbioru liczb rzeczywistych. Rozszerzmy topologię dyskretną w $ℝ$ w następujący sposób: każde otoczenie otwarte punktu $\mathrm{\infty }$ jest postaci $(a,\mathrm{\infty })\cup \{\mathrm{\infty }\},$ każde otoczenie otwarte punktu $-\mathrm{\infty }$ jest postaci $(-\mathrm{\infty },a)\cup \{-\mathrm{\infty }\}$ dla pewnej liczby rzeczywistej $a$ oraz każde otoczenie otwarte punktu $p_n$ jest postaci $\{p_n\}\cup P,$ gdzie zbiór $P$ jest sumą po prawie wszystkich liczbach naturalnych $k$ zbiorów postaci $(-k-1,-k)\cup (k,k+1).$

• Własność bycia przestrzenią Urysohna nie zachowuje się poprzez przekształcenia domknięto-otwarte, jest jednak własnością dziedziczną, tzn. podprzestrzeń przestrzeni Urysohna jest również przestrzenią Urysohna.
• Produkt dowolnej rodziny przestrzeni Urysohna jest nadal przestrzenią Urysohna.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę