Problem geometryczny Karola Borsuka

Problem geometryczny Karola Borsuka dotyczy dzielenia zbiorów ograniczonych w przestrzeni euklidesowej na podzbiory o mniejszych średnicach.

Nietrudno w przestrzeni euklidesowej pokryć 3-wymiarową kulę czterema podzbiorami o średnicy mniejszej od średnicy kuli. Podobnie jest z kulą n-wymiarową i $n+1$ podzbiorami. W roku 1933 Karol Borsuk pokazał, że $n$ podzbiorów nie wystarczy. Postawił zatem następujące pytanie ogólne, dotyczące dowolnych zbiorów w przestrzeni euklidesowej, a nie tylko kul:

Czy każdy zbiór o średnicy 1, w przestrzeni euklidesowej wymiaru n, można rozbić na n+1 zbiorów o średnicach mniejszych od 1?

(Borsuk pyta o $n+1$ zbiorów, gdyż, jak sam pokazał na przykładzie kuli, $n$ nie wystarczy).

W roku 1945 Hugo Hadwiger opublikował swój wynik o pozytywnej odpowiedzi w szczególnym wypadku ograniczonych zbiorów wypukłych, których powierzchnia jest gładka (dopuszcza w każdym punkcie dokładnie jedną (n–1)-wymiarową płaszczyznę styczną). W roku 1971 A.S. Riesling pokazał, że hipoteza Borsuka zachodzi dla zbiorów centralnie symetrycznych, a C. A. Rogers, w tym samym roku, że dla każdego zbioru ograniczonego, który odwzorowywany jest w siebie przez symetrie n-wymiarowego sympleksu regularnego.

Pełną odpowiedź na pytanie Borsuka dla $n=3$ uzyskał polski matematyk Julian Perkal w 1947 i Anglik H.G. Eggelston w 1955. Prostsze rozwiązania dla $n=3$ podali w 1957 pracujący w USA izraelski geometra Branko Grünbaum i Węgier Aladár Heppes. Grünbaum dowolny przestrzenny zbiór o średnicy 1 zawarł w jedenastościanie, który otrzymuje się z foremnego ośmiościanu, o przeciwległych ścianach odległych o 1, poprzez ścięcie 3 „rogów” (stąd dodatkowe 3 kwadratowe ściany, w sumie $8+3=11$ ścian). Teraz wystarczy podzielić jedenastościan. Cztery części na które można podzielić jedenastościan (a więc i dany zbiór) mają średnice nie przekraczające:

$\frac{6129030-93749\sqrt{3}}{1518\sqrt{2}}\approx 0,989,$

a więc mniejszą od jeden. Przypuszczenie, że średnice części dadzą się zmniejszyć do:

$\frac{3+\sqrt{3}}{6}\approx 0,788$

nie zostało potwierdzone.

J. Kahn i G. Kalai pokazali w 1993, że dla wszystkich, dostatecznie dużych $n$ odpowiedź na pytanie Borsuka jest negatywna. W szczególności jest ona negatywna dla $n=1325$ oraz dla wszystkich $n>2014.$ Z kolei Hinrichs i Richter udowodnili w roku 2003, że odpowiedź jest negatywna już dla $n>297$.

Wynik ten został poprawiony: w 2013 Andrej Bondarenko pokazał, że odpowiedź jest negatywna dla $n⩾65$, zaś Thomas Jenrich jeszcze obniżył ograniczenie do 64.