Pierścień lokalny
Pierścień lokalny – pierścień przemienny, który ma dokładnie jeden ideał maksymalnySzablon:OdnSzablon:Odn. Niektórzy autorzy pierścień przemienny o jedynym ideale maksymalnym nazywają quasi-lokalnym, rezerwując termin pierścień lokalny dla pierścieni quasi-lokalnych i noetherowskichSzablon:Odn.
Własności
- Pierścień przemienny jest pierścieniem lokalnym wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego każdych dwóch elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnymSzablon:Odn.
- Pierścień jest lokalny i jest jedynym ideałem maksymalnym pierścienia wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru jest odwracalnySzablon:Odn.
- Jeżeli jest pierścieniem lokalnym i noetherowskim o ideale maksymalnym to
- Jest to szczególny przypadek twierdzenia Krulla o przekrojuSzablon:Odn. Założenia, że jest pierścieniem noetherowskim nie można pominąć.
Przykłady
- Każde ciało jest pierścieniem lokalnym (jego jedynym ideałem maksymalnym jest ).
- Pierścień szeregów formalnych o skończonej liczbie zmiennych i o współczynnikach z ciała jest pierścieniem lokalnym.
- Pierścień lokalny kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych. Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz Rozpatrzmy zbiór par gdzie jest otoczeniem punktu i jest funkcją ciągłą. Określmy relację dla pewnego otoczenia punktu Relacja ta jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji zawierającą parę oznaczmy W zbiorze klas abstrakcji możemy wyróżnić jako element zerowy i jako jedynkę oraz odpowiednio zdefiniować działania dodawania i mnożenia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem lokalnym kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych w punkcie przestrzeni topologicznej i oznaczamy przez Pierścień ten jest lokalny, gdyż jego jedynym ideałem maksymalnym jest ideał złożony z wszystkich klas abstrakcji że Podobnie określa się pierścienie kiełków zespolonych funkcji ciągłych, różniczkowalnych (rzeczywistych bądź zespolonych) funkcji ustalonej klasy w punkcie rozmaitości różniczkowej a także pierścień kiełków funkcji regularnych w punkcie rozmaitości algebraicznej.
- Lokalizacja względem ideału pierwszego. Dla dowolnego pierścienia przemiennego i jego ideału pierwszego pierścień złożony z elementów postaci gdzie jest pierścieniem lokalnym. Jego ideał maksymalny jest złożony z elementów dla których
- Dla nierozkładalnego podzbioru zbioru algebraicznego pierścień wszystkich funkcji wymiernych, które są określone na otwartych podzbiorach jest pierścieniem lokalnym, którego ideałem maksymalnym jest zbiór funkcji wymiernych równych 0 na Dla zbiorów afinicznych jest to lokalizacja pierścienia wielomianów względem ideału radykalnego odpowiadającego podzbiorowi.
Uogólnienie na pierścienie nieprzemienne
Pojęcie pierścienia lokalnego ma dwa (nierównoważne) uogólnienia w klasie pierścieni nieprzemiennych. I tak pierścień (być może nieprzemienny) nazywany jest
- pierścieniem lokalnym, gdy pierścień ilorazowy jest pierścieniem z dzieleniem;
- pierścieniem semilokalnym, gdy jest pierścieniem artinowskim.
Ponadto, dla dowolnego pierścienia następujące warunki są równoważne:
- jest pierścieniem lokalnym;
- ma dokładnie jeden ideał lewostronny;
- ma dokładnie jeden ideał prawostronny;
- zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych w jest ideałem;
- dla każdej liczby naturalnej i o ile tylko element jest odwracalny, to istnieje takie że jest odwracalny.
Pierścienie lokalne mają dokładnie jeden ideał maksymalny oraz nie mają elementów idempotentnych innych niż 0 i 1. Przykładem nieprzemiennego pierścienia lokalnego jest pierścień macierzy górnotrójkątnych ustalonego stopnia nad pierścieniem z dzieleniem, których wyrazy na głównej przekątnej są sobie równe.