Radykał ideału

Radykał – w pierścieniu przemiennym $R,$ radykał ideału $I$ (oznaczany przez $\sqrt{I}$) to zbiór wszystkich elementów pierścienia, których pewna potęga leży w ideale $I:$

$\sqrt{I}=\{a\in R:\mathrm{\exists }n>0:a^n\in I\}$.

Dowodzi się, że radykał ideału $I$ również jest ideałem, $I\subseteq \sqrt{I}$ oraz gdy ideał $I$ jest pierwszy, to $I=\sqrt{I}.$ Implikacja w drugą stronę jednak nie zachodzi: równość $I=\sqrt{I}$ nie implikuje pierwszości ideału $I,$ jako kontrprzykład można wziąć np. ideał generowany przez $xy$ w pierścieniu wielomianów dwóch zmiennych nad ciałem liczb wymiernych $\mathbb{Q}[x,y].$ W związku z tym, ideały spełniające $I=\sqrt{I}$ nazywamy ideałami radykalnymi.

Radykał ideału $I$ jest równy przecięciu wszystkich ideałów pierwszych zawierających $I.$

Ideały radykalne odgrywają dużą rolę w klasycznej geometrii algebraicznej, ze względu na wyrażaną poprzez twierdzenie Hilberta o zerach odpowiedniość ideałów radykalnych w pierścieniach wielomianów nad ciałami algebraicznie domkniętymi, a rozmaitościami algebraicznymi nad tymi ciałami.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę