Twierdzenie Hilberta o zerach

Twierdzenie Hilberta o zerach (niem. Nullstellensatz) -- udowodnione przez Davida Hilberta twierdzenie w algebrze stanowiące fundament klasycznej geometrii algebraicznej. Wyraża ono wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy rozmaitościami algebraicznymi nad ciałami algebraicznie domkniętymi a ideałami radykalnymi w pierścieniu wielomianów o współczynnikach w tym ciele. Pozwala to na badanie rozmaitości algebraicznych, czyli geometrycznych obiektów, metodami algebraicznymi.

Sformułowanie

W literaturze istnieje kilka różnych sformułowań twierdzenia Hilberta o zerach. Szczególną rolę odgrywają zdania zwane słaby Nullstellensatz oraz mocny Nullstellensatz.

Słaby Nullstellensatz charakteryzuje ideały maksymalne w pierścieniu wielomianów nad ciałem algebraicznie domkniętym:

Niech $k$ będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wtedy każdy ideał maksymalny $I◃k[x_1,\dots ,x_n]$ jest postaci $I=(x_1-a_1,x_2-a_2,\dots ,x_n-a_n)$ dla pewnych $a_1,\dots ,a_n\in k$

Dla $S\subseteq k^n,$ oznaczmy $I(S)=\{f\in k[x_1,\dots ,x_n]:\mathrm{\forall }s\in Sf(s)=0\}.$ Mocny Nullstellensatz mówi:

Jeżeli $J◃k[x_1,\dots ,x_n]$ jest nietrywialnym ideałem w ciele algebraicznie domkniętym, to $I(V(J))=\sqrt{J},$ gdzie $\sqrt{J}$ oznacza radykał ideału $J,$ zatem funkcje $I,V$ są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami pomiędzy ideałami radykalnymi a rozmaitościami algebraicznymi.

Związek pomiędzy algebrą a geometrią

Ze słabego Nullstellensatza można wywnioskować, że każdy niesprzeczny układ równań wielomianowych $n$ zmiennych $f_1(x_1,\dots ,x_n)=0,f_2(x_1,\dots ,x_n)=0,\dots ,f_k(x_1,\dots ,x_n)=0$ ma rozwiązanie: niesprzeczność oznacza dokładnie tyle, że ideał $I=(f_1,\dots ,f_k)$ nie jest całym pierścieniem. Znany fakt z algebry mówi, że w tym wypadku jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym $𝔪,$ który na mocy słabego Nullstellensatza jest postaci $𝔪=(x_1-a_1,\dots ,x_n-a_n)$ dla pewnych $a_1,\dots ,a_n.$ Ponieważ $f_i\in I\subseteq 𝔪,$ otrzymujemy, że $f_i=(x_1-a_1)g_{i1}+(x_2-a_2)g_{i2}+\dots +(x_n-a_n)g_{in},$ dla pewnych $g_{ij}\in k[x_1,\dots ,x_n]$ a wtedy oczywiście $f_i(a_1,\dots ,a_n)=0,$ co oznacza, że punkt $(a_1,\dots ,a_n)$ jest wspólnym miejscem zerowym wielomianów $f_1,\dots ,f_k.$

Oznaczając przez $V(I)=\{(u_1,\dots ,u_n)\in k^n:\mathrm{\forall }f\in If(u_1,u_2,\dots ,u_n)=0\}$ zbiór wspólnych zer wielomianów z ideału $I,$ otrzymujemy, że $I\ne k[x_1,\dots ,x_n]\Rightarrow V(I)\ne \mathrm{\varnothing },$ czyli niesprzeczny układ równań daje nam nietrywialny obiekt geometryczny. W drugą stronę, można wywnioskować z tego słaby Nullstellensatz: jeżeli $I◃k[x_1,\dots ,x_n]$ jest ideałem maksymalnym, to $V(I)\ne \mathrm{\varnothing }$ oznacza, że pewien punkt $(a_1,\dots ,a_n)\in V(I),$ czyli I jest zawarty w jądrze homomorfizmu $\varphi :k[x_1,\dots ,x_n]\to k,\varphi (x_i)=a_i,$ ale I jest ideałem maksymalnym, zatem $I=\ker \varphi .$ Z drugiej strony, $x_i-a_i\in \ker \varphi ,$ oraz ideał $(x_1-a_1,\dots ,x_n-a_n)\subseteq \ker \varphi$ jest jak łatwo sprawdzić maksymalny, zatem $I=(x_1-a_1,\dots ,x_n-a_n).$

Słaby Nullstellensatz mówi zatem o związku pomiędzy ideałami, będącymi obiektami algebraicznymi, a zbiorami zer ideałów, będącymi obiektami geometrycznymi. Mocny Nullstellensatz wyraża ten związek w nieco konkretniejszy sposób: mówi on, że każda rozmaitość algebraiczna w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej $k^n$ odpowiada dokładnie jednemu ideałowi radykalnemu $I◃k[x_1,\dots ,x_n].$

Zobacz też

• twierdzenie Hilberta o bazie

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę