Płaszczyzna fazowa

Szablon:Dopracować Płaszczyzna fazowa – sposób wizualizacji charakterystyki rozwiązań pewnej klasy równań różniczkowych – jednorodnych równań różniczkowych pierwszego rzędu w dwóch wymiarach.

Równanie jednorodne w dwóch wymiarach można zapisać jako układ równań:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)=f(x,y)\\ y^{\prime }(t)=g(x,y)\end{array}$

z zadanym warunkiem początkowym:

$\{\begin{array}{c}x(0)=x_0\\ y(0)=y_0\end{array}$

Rozwiązując ten układ otrzymuje się dwie funkcje:

$\{\begin{array}{c}x(t)=p(t)\\ y(t)=q(t)\end{array}$

spełniające warunek początkowy. Można narysować wykresy funkcji $x(t)$ i $y(t)$ osobno, można jednak także wyrugować parametr $t$ i uzyskać wykres funkcji (trajektorię układu) w układzie współrzędnych $(x,y),$ czyli w płaszczyźnie fazowej.

Dla równania jednorodnego wektor stały $(x,y)=(0,0)$ jest rozwiązaniem. Oznacza to, że początek układu współrzędnych w płaszczyźnie fazowej jest zawsze punktem równowagi. W każdym innym punkcie płaszczyzny fazowej można narysować wektor o współrzędnych $(f(x,y),g(x,y))$ – jest on styczny do trajektorii układu przez ten punkt przechodzącej. Rysując takie wektory dla wielu punktów płaszczyzny, rozpoczynając z dowolnego jej punktu, można narysować przybliżony przebieg trajektorii układu i zorientować się jaki charakter mają rozwiązania: czy zbiegają się do punktu równowagi, rozchodzą się od niego czy też są zamkniętymi orbitami wokół punktu równowagi.

Na przykład rozwiązując układ

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)=y(t)\\ y^{\prime }(t)=-x(t)\end{array}$

z zadanym warunkiem początkowym

$\{\begin{array}{c}x(0)=0\\ y(0)=1\end{array}$

otrzymuje się następujące funkcje:

Trajektoria fazowa dla różnych warunków początkowych (x, y)

$\{\begin{array}{c}x(t)=\sin t\\ y(t)=\cos t\end{array}$

Podnosząc je do kwadratu i sumując otrzymuje się jedynkę trygonometryczną $x^2(t)+y^2(t)={\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1,$ a zatem w płaszczyźnie fazowej otrzymuje się rozwiązanie – trajektorię fazową, która będzie okręgiem o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu $1,$ przechodzącą przez punkt początkowy $(0,1).$

Metoda płaszczyzny fazowej wykorzystywana bywa do określenia charakteru rozwiązań równań nieliniowych z niewielkimi i gładkimi nieliniowościami. Równania takie pojawiają się często w badaniu różnych układów dynamicznych. Można ją też stosować do badania rozwiązań równań jednowymiarowych drugiego rzędu. Równania takie sprowadza się, przez wprowadzenie zmiennej $y=dx/dt$ do układu dwóch równań pierwszego rzędu, które można zanalizować powyższą metodą.

Zobacz też

• metoda płaszczyzny fazowej
• przestrzeń fazowa