Półgrupa transformacji

Półgrupa transformacji – półgrupa wszystkich funkcji (transformacji) pewnego zbioru w siebie z działaniem składania. Nazywana również pełną półgrupą transformacji dla odróżnienia od jej podpółgrup. Jest podpółgrupą półgrupy relacji binarnych na zbiorze, a także półgrupy transformacji częściowych zbioru w siebie. Półgrupa transformacji zbioru zawiera grupę permutacji tego zbioru jako podpółgrupę.

Oznaczenia

A.H. Clifford i G.B. Preston oznaczają półgrupę wszystkich transformacji zbioru $X$ symbolem ${𝒯}_X$ i będzie on stosowany również poniżej. J.M. Howie używa symbolu $𝒯(X)$.

W poniższym stosowana będzie standardowa w teorii półgrup konwencja pisania argumentów funkcji na lewo od symbolu oznaczającego funkcję. Tak więc zamiast $\varphi (x),$ pisać będziemy $x\varphi .$

Relacje Greena i regularność

Relacje Greena na ${𝒯}_X$ dają się scharakteryzować za pomocą poniższego twierdzenia.

Charakteryzacja relacji Greena

Niech $\alpha ,\beta \in {𝒯}_X.$ Niech, dla każdego $\varphi \in {𝒯}_X,{\pi }_{\varphi }$ oznacza relację następującą relację równoważności (jądro $\varphi$):

$x{\pi }_{\varphi }y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\varphi =y\varphi .$

Wtedy

$\alpha ℒ\beta$ wtedy i tylko wtedy, gdy $X\alpha =X\beta$ (czyli $\alpha$ i $\beta$ mają ten sam obraz);

$\alpha ℛ\beta$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\pi }_{\alpha }=\varphi \beta$ (czyli $\alpha$ i $\beta$ mają to samo jądro);

$\alpha 𝒟\beta$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|X\alpha |=|X\beta |$ (czyli obrazy $\alpha$ i $\beta$ mają równą moc);

$𝒟=𝒥.$

Klasy relacji $\mathscr{H}$ są oczywiście przecięciami klas relacji $ℒ$ i $ℛ.$

Regularność

Łatwo jest w ${𝒯}_X$ zidentyfikować idempotenty; są to po prostu rzuty, czyli przekształcenia działające identycznościowo na swoim obrazie. Stąd i z powyższego twierdzenia wynika regularność ${𝒯}_X.$