Element regularny półgrupy

Element regularny półgrupy – element półgrupy $(S,\cdot ),$ mający uogólnioną odwrotność, tj. taki element $x\in S,$ że dla pewnego $y\in S$ zachodzi warunek

$xyx=x.$

Jeżeli $x$ jest elementem regularnym $S,$ czyli $xyx=x$ dla pewnego $y\in S,$ to $yxy$ jest elementem odwrotnym do $x.$

Podzbiór półgrupy nazywany jest podzbiorem regularnym, gdy każdy jego element jest regularny. Półgrupa regularna to taka, która jest swoim podzbiorem regularnym.

$𝒟$-klasy regularne

Regularność jest cechą $𝒟$-klas półgrupy (zob. relacje Greena), co pokazuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Jeżeli pewna $𝒟$-klasa $\mathrm{D}$ półgrupy $S$ zawiera element regularny, to każdy element $\mathrm{D}$ jest regularny.

Ważna jest też następująca charakteryzacja $𝒟$-klas regularnych:

Twierdzenie. Niech $\mathrm{D}\in S/𝒟.$ $\mathrm{D}$ jest reglarna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych $\mathrm{L}\in S/ℒ$ i $\mathrm{R}\in S/ℛ$ takich, że $\mathrm{L}\subseteq \mathrm{D}$ i $\mathrm{R}\subseteq \mathrm{D}$ zarówno $\mathrm{L},$ jak i $\mathrm{R}$ zawiera przynajmniej jeden idempotent.

Bibliografia

• E.S. Ljapin, Semigroups, Translations of Mathematical Monographs, vol. 3, American Mathematical Society, 1963.