Relacje Greena

Relacje Greena – pięć relacji równoważności definiowanych na dowolnej półgrupie, związanych z pojęciem ideału głównego. Relacje te oznaczane są symbolami $ℒ,ℛ,𝒟,𝒥$ i $\mathscr{H}.$ Relacje $ℒ,ℛ$ i $𝒥$ to relacje generowania tego samego ideału, odpowiednio lewo-, prawo- i obustronnego. Relacja $\mathscr{H}$ jest przecięciem $ℒ$ i $ℛ.$ Relacja $𝒟$ to złożenie tych relacji. Relacje te zostały wprowadzone przez Jamesa A. Greena w 1951 roku.

Definicja

Niech $S$ będzie półgrupą i $a,b\in S.$ Przez $S^1=S\cup \{1\}$ oznaczamy półgrupę $S$ z jedynką dołączoną, jeśli jej wcześniej nie było.

Wtedy

• $aℒb⟺S^{1}a=S^{1}b$ ($a$ i $b$ generują ten sam lewostronny ideał główny);
• $aℛb⟺a{S}^1=b{S}^1$ ($a$ i $b$ generują ten sam prawostronny ideał główny);
• $𝒟=ℒ\circ ℛ=ℛ\circ ℒ$ (relacja $𝒟$ jest złożeniem relacji $ℒ$ i $ℛ$);
• $a𝒥b⟺S^{1}a{S}^1=S^{1}b{S}^1$ ($a$ i $b$ generują ten sam obustronny ideał główny);
• $\mathscr{H}=ℒ\cap ℛ.$

Okazuje się, że wszystkie z tych relacji są relacjami równoważności. (Jest to natychmiastowe w przypadku $ℒ,ℛ,𝒥$ i $\mathscr{H}.$ Przypadek $𝒟$ jest nieco trudniejszy i dowód można znaleźć na przykład w [2] – zob. sekcję Bibliografia).

Oznaczenia

Niech $a\in S$ i $S$ niech będzie półgrupą. Wtedy oznaczamy:

• ${\mathrm{L}}_a=\{x\in S|xℒa\}$ jest klasą abstrakcji elementu $a$ w relacji $ℒ$

i analogicznie:

• ${\mathrm{R}}_a=\{x\in S|xℛa\},$
• ${\mathrm{D}}_a=\{x\in S|x𝒟a\},$
• ${\mathrm{J}}_a=\{x\in S|x𝒥a\}$ i
• ${\mathrm{H}}_a=\{x\in S|x\mathscr{H}a\}$

są klasami abstracji elementu $a$ odpowiednio w relacjach $ℛ,𝒟,𝒥$ i $\mathscr{H}.$

Przykłady

• W dowolnej grupie $G$ mamy
  • $\mathscr{H}=ℒ=ℛ=𝒟=𝒥=G\times G.$
• W nieskończonej półgrupie cyklicznej $(\mathbb{N},+)$ mamy
  • $\mathscr{H}=ℒ=ℛ=𝒟=𝒥=\{(x,x)|x\in \mathbb{N}\},$
• Ten sam wzór jest prawdziwy dla półgrupy $(\mathbb{N},\cdot ),$
• W pełnej półgrupie transformacji zbioru $X$ oznaczanej symbolem ${𝒯}_X$ mamy
  • $ℒ=\{(\alpha ,\beta )\in {𝒯}_X\times {𝒯}_X|X\alpha =X\beta \},$
  • $ℛ=\{(\alpha ,\beta )\in {𝒯}_X\times {𝒯}_X|{\pi }_{\alpha }={\pi }_{\beta }\},$ gdzie ${\pi }_{\varphi }$ oznacza jądro $\varphi$ dla dowolnego $\varphi \in {𝒯}_X,$
  • $𝒟=𝒥=\{(\alpha ,\beta )\in {𝒯}_X\times {𝒯}_X||X\alpha |=|X\beta |\}.$
• Analogiczne wzory zachodzą dla półgrupy transformacji liniowych przestrzeni $V$ oznaczanej symbolem $ℒ𝒯(V).$
  • $ℒ=\{(A,B)\in ℒ𝒯(V)\times ℒ𝒯(V)|VA=VB\},$
  • $ℛ=\{(A,B)\in ℒ𝒯(V)\times ℒ𝒯(V)|\ker A=\ker B\},$
  • $𝒟=𝒥=\{(A,B)\in ℒ𝒯(V)\times ℒ𝒯(V)|\dim VA=\dim VB\}.$

Częściowe porządki na zbiorach klas

Dla dowolnej półgrupy $S$ istnieją naturalne porządki na $S/ℒ,S/ℛ$ i $S/𝒥$ zadane przez zawieranie ideałów odpowiadających klasom:

• ${\mathrm{L}}_a⩽{\mathrm{L}}_b⟺S^{1}a\subseteq S^{1}b,$
• ${\mathrm{R}}_a⩽{\mathrm{R}}_b⟺a{S}^1\subseteq b{S}^1$

oraz

• ${\mathrm{J}}_a⩽{\mathrm{J}}_b⟺S^{1}a{S}^1\subseteq S^{1}b{S}^1.$

Okazuje się, że zdefiniowane w ten sposób relacje są relacjami porządku.

Jeżeli $S/ℒ,S/ℛ$ lub $S/𝒥$ spełniają następujący warunek:

każdy niepusty podzbiór zawiera element minimalny,

to mówimy, że $S$ spełnia odpowiednio ${\min }_{\mathrm{L}},{\min }_{\mathrm{R}}$ lub ${\min }_{\mathrm{J}}.$ Jeżeli półgrupa spełnia zarówno ${\min }_{\mathrm{L}},$ jak i ${\min }_{\mathrm{R}},$ to zachodzi równość $𝒟=𝒥.$

Własności

Zawierania

Dla każdej półgrupy zachodzą następujące zawierania:

• $\mathscr{H}\subseteq ℒ\subseteq 𝒟,$
• $\mathscr{H}\subseteq ℛ\subseteq 𝒟,$
• $𝒟\subseteq 𝒥.$

W pewnych szczególnych klasach półgrup zachodzi $𝒟=𝒥,$ jednak nie jest to prawdą w ogólności.

Lemat i twierdzenie Greena

Następujący fakt został pokazany przez A.J. Greena i znany jest jako lemat Greena.

Niech $a,b\in S$ oraz $aℛb.$ Niech $s,s^{\prime }\in S^1$ będą takimi elementami, że $as=b,b{s}^{\prime }=a$ (takie elementy istnieją, skoro $aℛb$). Wtedy odwzorowania $x\to xs$ dla $x\in {\mathrm{L}}_a$ oraz $y\to y{s}^{\prime }$ dla $y\in {\mathrm{L}}_b$ są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami odpowiednio z ${\mathrm{L}}_a$ na ${\mathrm{L}}_b$ i z ${\mathrm{L}}_b$ na ${\mathrm{L}}_a.$ Przekształcenia te zachowują $ℛ$-klasy argumentów.

Natychmiastowym wnioskiem z lematu Greena jest, że wszystkie $ℒ$-klasy są równoliczne. Z dualnej wersji lematu Greena wynika, że wszystkie $ℛ$-klasy są równoliczne. Z lematu Greena można również wyprowadzić równoliczność $\mathscr{H}$-klas zawartych w tej samej $𝒟$-klasie.

Wnioskiem z lematu Greena jest też następujące twierdzenie Greena.

Jeżeli $\mathrm{H}\in S/\mathscr{H}$ jest $\mathscr{H}$-klasą, to zachodzi jedna z dwóch możliwości:

• Albo ${\mathrm{H}}^2\cap \mathrm{H}=\mathrm{\varnothing }$ (czyli iloczyn dowolnych dwóch elementów $\mathrm{H}$ znajduje się poza $\mathrm{H}$),
• albo ${\mathrm{H}}^2=\mathrm{H}$ i $\mathrm{H}$ jest grupą.

Bibliografia

• [1] Clifford, Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961, American Mathematical Society.
• [2] Howie, An Introduction to Semigroup Theory 1976, Academic Press.