Objętość (matematyka)

Szablon:Inne znaczenia Objętość – miara 3-wymiarowej przestrzeni.

Konstrukcja pojęcia

W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:

• Pokrywamy całą przestrzeń siatką przylegających sześcianów o bokach $a_1.$
• Liczbę sześcianów, które mają choćby jeden punkt wspólny z bryłą lub obszarem przestrzeni, którego objętość chcemy obliczyć oznaczmy przez $n_1.$

Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych krawędziach $a_2<a_1,$ $a_3<a_2$ itd. uzyskamy ciąg liczb $n_1,n_2,...$ Objętością nazywamy granicę:

$V=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}_i{a}_i^3.$

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

$\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:x,y,z\in \mathbb{Q},0<x,y,z<1\}$

oraz

$\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:x,y,z\in ℝ\setminus \mathbb{Q},0<x,y,z<1\}$

mają obydwa objętości równe jeden, są rozłączne (mają pusty przekrój), a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.

Objętość pod powierzchnią

Objętość między powierzchnią daną równaniem $z=f(x,y),$ a płaszczyzną $OXY$ w obszarze $x_1<x<x_2,y_1<y<y_2$ jest równe całce podwójnej

$V=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\underset{y_1}{\overset{y_2}{\int }}|f(x,y)|dydx.$

Jednostki objętości

Za jednostkę objętości przyjmuje się sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.

Zobacz też

• całka Lebesgue’a
• pole powierzchni