Metoda wariacyjna

Metoda wariacyjna – w mechanice kwantowej jedna z dwóch podstawowych (obok rachunku zaburzeń), przybliżonych metod rozwiązywania równania Schrödingera.

Opis metody

W porównaniu z rachunkiem zaburzeń, metoda wariacyjna ma pewną przewagę – może ona być użyta praktycznie do dowolnego układu, nie trzeba na nią nakładać żadnych dodatkowych ograniczeń. Równanie Schrödingera przedstawia się następująco:

$\hat{H}{\psi }_n(r)=E_n{\psi }_n(r).$

Nie można go rozwiązać ściśle, jednak można znaleźć jego przybliżone funkcje i wartości własne. W stanie podstawowym energię można oznaczyć jako $E_0,$ czyli:

$E_0<E_n(n>0).$

Można teraz założyć, że istnieje pewna funkcja $\phi$ w tej samej przestrzeni co ${\psi }_n$ i za jej pomocą można zdefiniować parametr $ϵ:$

$ϵ=\frac{\int {\phi }^{*}\hat{H}\phi d\tau }{\int {\phi }^{*}\phi d\tau }.$

Ponieważ funkcje ${\psi }_n$ tworzą układ zupełny funkcji ortonormalnych, funkcję $\phi$ można przedstawić w postaci szeregu:

$\phi =\sum _n{c}_n^{*}{\psi }_n.$

Jeżeli funkcja $\phi$ jest także znormalizowana, to powyższe równania można przedstawić w postaci:

$\sum _n{c}_n^{*}{c}_n=1,$

a zatem parametr $ϵ$ będzie miał postać:

$ϵ=\sum _n{c}_n^{*}{c}_n{E}_n.$

Jeśli od obu stron równania odjąć wartość $E_0$ otrzyma się:

$ϵ-E_0=\sum _n{c}_n^{*}{c}_n(E_n-E_0).$

Wobec zawsze dodatniej prawej strony równania (iloczyn $c_n^{*}$ $c_n$ oraz różnica energii są zawsze dodatnie), lewa strona równania także jest dodatnia. Skoro:

$ϵ-E_0⩾0,$

to:

$ϵ⩾E_0.$

Dla danego hamiltonianu parametr $ϵ,$ obliczony za pomocą funkcji $\phi$ jest większy od wartości ścisłej energii. W przypadku, gdy funkcja $\phi$ byłaby ścisłą funkcją własną stanu podstawowego, to wówczas $ϵ=E_0.$ Jest to tzw. zasada wariacyjna.

Wynik ten w połączeniu ze wzorem jest podstawą metody wariacyjnej. Aby wyznaczyć wartość energii, należy wziąć kilka funkcji ${\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3$ i obliczyć ich wartości oczekiwane ${ϵ}_1,{ϵ}_2,{ϵ}_3.$ Wówczas najniższa wartość $ϵ,$ będzie najbliższa dla energii stanu podstawowego. W celu wyznaczenie tych wartości często bierze się funkcję $\phi$ zależną od współrzędnych $r$ oraz od tzw. parametrów wariacyjnych $a_1,a_2,\dots ,a_k:$

$\phi =\phi (a_1,a_2,\dots ,a_k;r_1,r_2,\dots ,r_n).$

Dla różnych wartości $a_1,a_2,\dots ,a_k$ otrzymuje się różne funkcje. Następnie należy obliczyć wielkość $ϵ$ zależną od parametrów $a_1,a_2,\dots ,a_k:$

$ϵ=ϵ(a_1,a_2,\dots ,a_k).$

Znajdując minimum względem parametrów $a,$ można znaleźć najmniejszą wartość $ϵ,$ która będzie najlepszym przybliżeniem energii stanu podstawowego.

Szczególnym przypadkiem metody wariacyjnej jest metoda Ritza.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę