Macierz Hurwitza

Macierz Hurwitza – kwadratowa macierz rzeczywista, będąca strukturą składająca się ze współczynników rzeczywistego wielomianu. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Adolfa Hurwitza.

Definicja formalna

Dla danego rzeczywistego wielomianu:

p (z) = a_{0} z^{n} + a_{1} z^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} z + a_{n}

macierz kwadratowa o wymiarach $n \times n$

H (p) : = [\begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} & a_{7} & \dots & 0 \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} & a_{6} & \dots & 0 \\ 0 & a_{1} & a_{3} & a_{5} & \dots & 0 \\ 0 & a_{0} & a_{2} & a_{4} & \dots & 0 \\ 0 & 0 & a_{1} & a_{3} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & a_{n} \end{matrix}]

nazywa się macierzą Hurwitza odpowiadającą wielomianowi $p .$

Kryterium stabilności Hurwitza

Szablon:Osobny artykułW 1895 roku Adolf Hurwitz ustalił, że wielomian rzeczywisty jest stabilny (to znaczy wszystkie jego pierwiastki leżą w otwartej lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wiodące główne minory macierzy $H (p)$ są dodatnie:

\begin{matrix} Δ_{1} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} \end{matrix} | & = a_{1} > 0 \\ Δ_{2} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ a_{0} & a_{2} \end{matrix} | & = a_{2} a_{1} - a_{0} a_{3} > 0 \\ Δ_{3} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} \\ 0 & a_{1} & a_{3} \end{matrix} | & = a_{3} Δ_{2} - a_{1} (a_{1} a_{4} - a_{0} a_{5}) > 0 \end{matrix}

i tak dalej.

Stabilne macierze Hurwitza

W inżynierii i w teorii stabilności, macierz kwadratowa $A$ nazywa się macierzą stabilną (lub czasem macierzą Hurwitza), jeśli każda wartość własna macierzy $A$ ma ściśle ujemne części rzeczywiste, to znaczy:

R e [λ_{i}] < 0

dla każdej wartości własnej $λ_{i} .$

$A$ nazywana jest też macierzą stabilności, gdyż wówczas równanie różniczkowe zwyczajne

\dot{x} = A x

jest stabilne asympotycznie, to znaczy $x (t) \to 0,$ gdy $t \to \infty .$

Jeśli $G (s)$ jest transmitancją operatorową (o wartościach macierzowych) to $G$ nazywa się transmitancją Hurwitza, jeśli bieguny wszystkich elementów $G$ mają ujemne części rzeczywiste. Należy przy tym pamiętać, że nie jest konieczne, aby $G (s)$ dla danego argumentu $s$ była transmitancją Hurwitza, nie musi nawet być kwadratowa. Występuje jednak związek, że jeśli $A$ jest macierzą Hurwitza, to układ dynamiczny ma transmitancję Hurwitza.

Dowolny hiperboliczny punkt stały (lub punkt równowagi) ciągłego układu dynamicznego jest lokalnie asympotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, jeśli Jacobian układu dynamicznego jest w punkcie stałym stabilny w sensie Hurwitza.

Zobacz też

Macierz Hurwitza

Spis treści

Definicja formalna

Kryterium stabilności Hurwitza

Stabilne macierze Hurwitza

Zobacz też

Menu nawigacyjne

Macierz Hurwitza

Definicja formalna

Kryterium stabilności Hurwitza

Stabilne macierze Hurwitza

Zobacz też

Menu nawigacyjne

Szukaj