Kryterium stabilności Hurwitza

Szablon:Integracja Szablon:Inne znaczenia Kryterium stabilności Hurwitza – metoda pozwalająca określić stabilność układu regulacji na podstawie równania charakterystycznego układu

$a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +a_1\lambda +a_0=0$

o współczynnikach $a_i$ rzeczywistych.

Z punktu widzenia algebry kryterium Hurwitza pozwala sprawdzić, czy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej $s,$ co pociąga za sobą stabilność układu. Na potrzeby kryterium wykorzystuje się ciąg wyznaczników, utworzonych ze współczynników równania charakterystycznego:

${\mathrm{\Delta }}_1=\left|\begin{array}{c}{a}_{n-1}\end{array}\right|$

${\mathrm{\Delta }}_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& a_n\\ a_{n-3}& a_{n-2}\end{array}\right|$

${\mathrm{\Delta }}_3=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{n-1}& a_n& 0\\ a_{n-3}& a_{n-2}& a_{n-1}\\ a_{n-5}& a_{n-4}& a_{n-3}\end{array}\right|$

$\dots$

${\mathrm{\Delta }}_n=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{n-1}& a_n& 0& \dots & 0\\ a_{n-3}& a_{n-2}& a_{n-1}& \dots & 0\\ a_{n-5}& a_{n-4}& a_{n-3}& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& 0& 0& a_0\end{array}\right|.$

Aby układ regulacji był asymptotycznie stabilny muszą zostać spełnione następujące warunki:

1. Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego $a_i>0$ dla $i=0,1,\dots ,n.$
2. Wszystkie podwyznaczniki (minory) ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{n-1}$ są większe od zera.

W przeciwnym razie układ jest niestabilny. Jeśli jednak któryś z podwyznaczników jest równy zeru, a pozostałe warunki są spełnione, to układ znajduje się na granicy stabilności.

Zbliżonym kryterium jest kryterium stabilności Routha, które dodatkowo pozwala na określenie liczby pierwiastków badanego równania odpowiednio o ujemnych, dodatnich i zerowych częściach rzeczywistych.

Zobacz też

• macierz Hurwitza
• twierdzenie Charitonowa
• wielomian stabilny

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę