Lemniskata Bernoulliego

Lemniskata Bernoulliego F₁, F₂ – ogniska o współrzędnych $(-a,0)$ i $(a,0)$

Lemniskata Bernoulliego – krzywa płaska będąca zbiorem punktów, dla których iloczyn odległości od dwóch ustalonych punktów (ognisk lemniskaty) oddalonych o $2a$ jest stały i równy $a^2.$ Lemniskata Bernoulliego jest szczególnym przypadkiem owalu Cassiniego.

Została ona opisana przez Jakoba Bernoulliego w 1694 roku, w czasopiśmie naukowym „Acta Eruditorum”Szablon:Fakt.

Równania lemniskaty:

• we współrzędnych kartezjańskich:

  $(x^2+y^2{)}^2=2a^2(x^2-y^2),$

• we współrzędnych biegunowych:

  $r^2=2a^2\cos 2\phi ,$

• równanie parametryczneSzablon:Fakt:

  $x=\frac{a\sqrt{2}\cos t}{1+{\sin }^{2}t},y=\frac{a\sqrt{2}\sin t\cos t}{1+{\sin }^{2}t},$    gdzie $t\in [0,2\pi ).$

Początek układu współrzędnych jest punktem rozgałęzienia. W punkcie tym są punkty przegięcia; równanie stycznych w tym punkcie: $y=\pm x.$ Przecięcie z osią $Ox:$ $A,C(\pm a\sqrt{2},0);$ ekstrema: $\pm \frac{1}{2}a\sqrt{3}$ oraz $\pm \frac{1}{2}a$ o argumentach $\phi =\pm \frac{1}{6}\pi .$

Promień krzywizny $r=2a^2/3\rho .$

Pole powierzchni obu obszarów ograniczonych krzywą wynosi $2a^2$.

Zobacz też

• lemniskata Bootha
• lista krzywych