Klotoida

Klotoida

Klotoida, spirala Cornu, spirala Eulera – krzywa, której krzywizna jest proporcjonalna do długości łuku – licząc od ustalonego punktu (0,0).

Opisana przez francuskiego fizyka Marie Alfreda Cornu w roku 1874, w związku z badaniami w dziedzinie optyki falowej, konkretniej dyfrakcji światła. Krzywa ta, poza obliczeniami dotyczącymi dyfrakcji fal, znalazła zastosowanie w projektowaniu dróg i linii kolejowych. Pojazd poruszający się po klotoidzie ze stałą prędkością liniową ma jednostajne przyspieszenie kątowe i jednostajnie rosnącą siłę odśrodkową.

Opis matematyczny

Równanie parametryczne klotoidy ma następującą postać:

$x=a\sqrt{\pi }\underset{0}{\overset{t}{\int }}\cos \left(\frac{\pi t^2}{2}\right)dt$

$y=a\sqrt{\pi }\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \left(\frac{\pi t^2}{2}\right)dt,$

gdzie:

$t$ – parametr $t=\frac{s}{a\sqrt{\pi }},$

$s$ – długość łuku,

$a$ – współczynnik z równania wyrażającego proporcjonalność krzywizny $\kappa$ do długości łuku: $\kappa =\frac{s}{a^2}.$

Krzywa ta ma dwa punkty asymptotyczne o współrzędnych:

$(\frac{a\sqrt{\pi }}{2},\frac{a\sqrt{\pi }}{2})\mathrm{i}(-\frac{a\sqrt{\pi }}{2},-\frac{a\sqrt{\pi }}{2}).$

Jest symetryczna względem punktu (0,0). Punkt ten jest również punktem przegięcia klotoidy. Oś $OX$ jest styczna do krzywej w tym punkcie.

Zobacz też

• całka Fresnela
• krzywa przejściowa
• lista krzywych

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997, wyd. XIV, Szablon:ISBN.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Otwarty dostęp Cornu spiral Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].