Jednoparametrowa półgrupa

Jednoparametrowa półgrupa (ang. one-parameter semigroup) – półgrupa spełniająca uogólnione równanie funkcyjne Cauchy'ego.

Równanie funkcyjne Cauchy'ego

Szablon:Osobny artykuł Określenie równanie funkcyjne Cauchy'ego pierwotnie odnosi się do równania funkcyjnego funkcji $f:{ℝ}_{+}\to ℝ$,

$\{\begin{array}{c}f(t+s)=f(t)f(s)\text{dla wszystkich }t,s⩾0,\\ f(0)=1\end{array}$,

gdzie zbiór ${ℝ}_{+}$ oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nieujemnych.

Uogólnione równanie

W uogólnionej postaci równanie funkcyjne Cauchy'ego opisuje wszystkie odwzorowania z liczb nieujemnych w zbiór ograniczonych operatorów liniowych.

Niech $X$ będzie zespoloną przestrzenią Banacha z normą $||\cdot ||$ oraz niech $ℒ(X)$ oznacza zbiór wszystkich ograniczonych operatorów liniowych $T:X\to X$, gdzie ograniczoność rozumiemy w sensie normy operatorowej $||\cdot |{|}_X$.

Powiemy, że odwzorowanie $T(\cdot ):{ℝ}_{+}\to ℒ(X)$ spełnia uogólnione równanie funkcyjne Cauchy'ego, jeśli

$\{\begin{array}{c}T(t+s)=T(t)T(s)\text{dla wszystkich }t,s⩾0,\\ T(0)=I\end{array}$,

przy czym przez $T(t)T(s)=(T(t)\circ T(s))(x)$ rozumiemy złożenie operatorów $T(t)$ i $T(s)$, a $I$ oznacza odwzorowanie identycznościowe na $X$.

Takie równanie jest naturalnym uogólnieniem, ponieważ jeśli zbiór liczb rzeczywistych potraktujemy jako przestrzeń Banacha nad zbiorem liczb nieujemnych, to mnożenie liczby $x\in ℝ$ przez liczbę $f(t)$ możemy traktować jako działanie operatora liniowego $f(\cdot ):ℝ\to ℒ(ℝ)$.

Definicja

Rodzinę $(T(t){)}_{t⩾0}$ ograniczonych operatorów liniowych na przestrzeni Banacha $X$ spełniającą uogólnione równanie funkcyjne Cauchy'ego nazywamy jednoparametrową półgrupą. Jeśli równanie jest spełnione dla wszystkich $t,s\in ℝ$, to $(T(t){)}_{t⩾0}$ nazywamy jednoparametrową grupą.

Przykłady

Przestrzenie skończenie wymiarowe

Jeśli $X$ jest skończenie wymiarową przestrzenią Banacha oraz $A\in ℒ(X)$, to jako jednoparametrową półgrupę możemy zadać $(e^{tA}{)}_{t⩾0}$, gdzie

$e^{tA}:=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^k{A}^k}{k!}$.

Powyższy szereg eksponenty macierzy jest zbieżny, ponieważ

${\left||S_n-S_m|\right|}_X={\left|\left|\sum _{k=n}^{m+1}\frac{t^k{A}^k}{k!}\right|\right|}_X⩽\sum _{k=n}^{m+1}\frac{t^k||A|{|}_X^k}{k!}$

w normie operatorowej, a podany po prawej szereg jest ciągiem Cauchy'ego, więc cały szereg również jest ciągiem Cauchy'ego, dlatego musi być zbieżny w przestrzeni Banacha.

$(e^{tA}{)}_{t⩾0}$ spełnia równanie funkcyjne, ponieważ szereg, jakim jest zadany jest zbieżny bezwzględnie (w normie operatorowej) i można udowodnić, że $e^{(t+s)A}$ jest iloczynem Cauchy'ego $e^{tA}$ i $e^{sA}$. Ponadto $T(t)=e^{tA}$ jest ciągły, ponieważ

$e^{(t+h)A}-e^{tA}=e^{tA}(e^{hA}-I)$,

więc wystarczy żeby $\underset{h\to 0}{\lim }{e}^{hA}=I$, a to prawda, ponieważ

${\left||e^{hA}-I|\right|}_X={\left|\left|\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{h^k{A}^k}{k!}\right|\right|}_X⩽\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|h{|}^k||A|{|}_X^k}{k!}=e^{|h|\cdot ||A|{|}_X}-1$.

W powyższym przypadku mówimy, że operator $A$ generuje jednoparametrową półgrupę $(e^{tA}{)}_{t⩾0}$.

Rodzaje półgrup

C₀-półgrupa

Jednoparametrową półgrupę $(T(t){)}_{t⩾0}$ nazwiemy C₀-półgrupą lub silnie ciągłą jednoparametrową półgrupą, jeśli spełnia uogólnione równanie funkcyjne Cauchy'ego oraz dodatkowy warunek silnej ciągłości,

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }||T(t)x_0-x_0||=0$

dla wszystkich $x_0\in X$, gdzie $||\cdot ||$ jest normą przestrzeni Banacha $X$.

Jednostajnie ciągła półgrupa

Jednoparametrową półgrupę $(T(t){)}_{t⩾0}$ nazywamy jednostajnie ciągłą (lub normowo ciągłą), jeśli odwzorowanie $T(\cdot ):{ℝ}_{+}\to ℒ(X)$ jest ciągłe w jednostajnej topologii operatorowej.