Równanie funkcyjne Cauchy’ego

Równanie funkcyjne Cauchy’ego to równanie funkcyjne zadane wzorem:

$f(x+y)=f(x)+f(y).$

Funkcję spełniającą dane równanie nazywamy addytywną. Rozwiązaniami tego równania w zbiorze liczb wymiernych są tylko funkcje liniowe postaci $f(x)=cx$ dla pewnej liczby wymiernej $c.$ W zbiorze liczb rzeczywistych dane równanie ma również rozwiązania nieliniowe, co wynika z aksjomatu wyboru. Jednak rozwiązanie jest liniowe, jeśli spełnia chociaż jeden z poniższych warunków:

• funkcja $f$ jest prawostronnie lub lewostronnie ciągła w przynajmniej jednym punkcie,
• funkcja $f$ jest ograniczona w pewnym przedziale,
• funkcja $f$ jest monotoniczna w pewnym przedziale.

Rozwiązania w liczbach wymiernych

Twierdzenie: Każde rozwiązanie równania funkcyjnego Cauchy’ego w liczbach wymiernych jest funkcją liniową.

Dowód: Wstawiając do równania $x=y=0$ otrzymujemy, że $f(0)=f(0)+f(0),$ skąd wynika $f(0)=0.$ Zatem $f(-q)=-f(q),$ bowiem $0=f(0)=f(q+(-q))=f(q)+f(-q).$

Dla $n\in \mathbb{N},q\in \mathbb{Q}$ zachodzi $f(nq)=f(q+(n-1)q)=f(q)+f((n-1)q)=f(q)+f(q+(n-2)q)=f(q)+f(q)+f((n-2)q)=\dots =n\cdot f(q),$

co w połączeniu z poprzednią obserwacją implikuje $f(mq)=m\cdot f(q)$ dla $m\in \mathbb{Z}.$ Wstawiając $\frac{q}{n}$ w miejsce $q$ otrzymujemy równość $f(q)=f(n\cdot \frac{q}{n})=nf\left(\frac{q}{n}\right),$ z której wynika $f\left(\frac{q}{n}\right)=\frac{1}{n}f(q).$

W takim razie, oznaczając $q=\frac{m}{n}$ dla $m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}$ oraz po podstawieniu $f(1)=c,$ otrzymujemy tezę, bowiem $f(q)=f\left(\frac{m}{n}\right)=f(\frac{1}{n}\cdot m)=\frac{1}{n}f(m)=\frac{m}{n}f(1)=qc.◻$.

Warunki wystarczające na liniowość rozwiązania w liczbach rzeczywistych

Ciągłość

Twierdzenie: Jeśli funkcja $f:ℝ\to ℝ$ spełnia równanie Cauchy’ego i jest w przynajmniej jednym punkcie prawostronnie lub lewostronnie ciągła, to jest ona funkcją liniową.

Dowód: Niech $x_0$ będzie punktem prawostronnej ciągłości funkcji $f,$ które spełnia równanie funkcyjne Cauchy’ego (dla ciągłości lewostronnej dowód wygląda analogicznie). Dla dowolnego $x_1\in ℝ$ zachodzi

$f(x_1+x)=f(x_0+x+x_1-x_0)=f(x_0+x)+f(x_1-x_0).$

Gdy $x\to 0^{+},$ to istnieje granica prawej strony powyższego wyrażenia, zatem granica lewej strony również musi istnieć i jest ona równa

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0^{+}}f(x_1+x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0^{+}}f(x_0+x)+f(x_1-x_0)=f(x_0)+f(x_1-x_0)=f(x_0+x_1-x_0)=f(x_1).$

Funkcja $f$ jest zatem prawostronnie ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Dla dowolnego $x\in ℝ$ zachodzi

$f(x)=\underset{q\to x^{+}}{\lim }f(q)=\underset{q\to x^{+}}{\lim }cq=cx,$

gdzie liczby $q\in \mathbb{Q},$ a z rozwiązania równania w liczbach wymiernych wynika, że $f(q)=cq.$ Funkcja $f$ jest więc ciągła. $◻$

Ograniczoność

Twierdzenie: Jeśli funkcja $f:ℝ\to ℝ$ spełnia równanie Cauchy’ego i jest w pewnym przedziale ograniczona, to jest funkcją liniową.

Dowód: Niech funkcja $f$ spełnia równanie Cauchy’ego i jest ograniczona w przedziale $[a,b],$ gdzie $a<b.$ Funkcja $f$ jest w takim razie ograniczona również w przedziale $[0,b-a],$ bowiem $f(x)=f(a+x)-f(a),$ a prawa strona podanej równości jest ograniczona w tym przedziale. Dla argumentów z tego przedziału zachodzi zatem ograniczenie $|f(x)|⩽K.$ Dla $x\in [0,b-a]$ zachodzi zatem

$|f(x)|=\frac{\left|f(\lfloor \frac{b-a}{x}\rfloor \cdot x)\right|}{\lfloor \frac{b-a}{x}\rfloor }⩽\frac{K}{\lfloor \frac{b-a}{x}\rfloor }.$

Przy $x\to 0^{+}$ prawa strona nierówności zbiega do 0, zatem $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=0,$ ale z drugiej strony $f(0)=0,$ więc funkcja ta ma w zerze punkt prawostronnej ciągłości. Na mocy poprzedniego twierdzenia musi ona być funkcją liniową. $◻$

Monotoniczność

Twierdzenie: Jeśli funkcja $f:ℝ\to ℝ$ spełnia równanie Cauchy’ego i jest na pewnym przedziale monotoniczna, to jest ona funkcją liniową.

Dowód: Dowód wynika wprost z tego, że każda funkcja monotoniczna posiada w przedziale monotoniczności punkt ciągłości. Alternatywnie dowód wynika stąd, że funkcja monotoniczna w przedziale $[a,b]$ jest w nim ograniczona przez $f(a)$ i $f(b).$ $◻$

Istnienie nieliniowych rozwiązań w liczbach rzeczywistych

Twierdzenie: W liczbach rzeczywistych istnieją nieliniowe rozwiązania równania funkcyjnego Cauchy’ego. Ich istnienie wymaga jednak założenia aksjomatu wyboru.

Dowód: Rozpatrzmy przestrzeń wektorową $ℝ(\mathbb{Q}).$ Z równoważnego aksjomatowi wyboru lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że przestrzeń ta ma pewną bazę $ℬ=\{x_i{\}}_{i\in I}.$ Każdą liczbę rzeczywistą $x$ można więc jednoznacznie przedstawić jako sumę $x=\sum _{i\in I}{x}_i{\lambda }_i,$ gdzie ${\lambda }_i$ są skalarami z ciała $\mathbb{Q}$ i tylko skończenie wiele spośród nich jest różnych od zera. Możemy przyjąć dowolne wartości dla funkcji $f$ na wektorach bazowych i określić wzór $f$ następująco:

$f(x)=f\left(\sum _{i\in I}{x}_i{\lambda }_i\right)=\sum _{i\in I}f(x_i){\lambda }_i.$

Taka funkcja jest rzeczywiście dobrze określona, co wynika z jedyności rozkładu liczb rzeczywistych na wektory bazowe. Ponadto jest ona rozwiązaniem równania funkcyjnego Cauchy’ego, bowiem dla dowolnych rzeczywistych $x=\sum _{i\in I}{x}_i{p}_i,y=\sum _{i\in I}{x}_i{q}_i$ zachodzi $x+y=\sum _{i\in I}{x}_i(p_i+q_i),$ a także

$f(x)+f(y)=\sum _{i\in I}f(x_i)p_i+\sum _{i\in I}f(x_i)q_i=\sum _{i\in I}f(x_i)(p_i+q_i)=f(x+y).$

Tak określona funkcja $f$ jest liniowa wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie $\frac{f(x_i)}{x_i}$ ma stałą wartość dla każdego $x_i\in ℬ.$ Aby otrzymać nieliniowe rozwiązanie wystarczy tak dobrać wartości na wektorach bazowych, żeby warunek ten nie był spełniony. $◻$Szablon:Fakt

Własności nieliniowych rozwiązań

Twierdzenie: Wykres każdego nieliniowego rozwiązania równania funkcyjnego Cauchy’ego w liczbach rzeczywistych jest gęsty w ${ℝ}^2.$

Dowód: Bez straty ogólności załóżmy, że $f(1)=1$ (jeśli $f(1)\ne 1$ i $f(1)\ne 0,$ to jest to tylko kwestia pomnożenia przez stałą). W takim razie $f(q)=q$ dla $q\in \mathbb{Q}.$ Ponieważ funkcja ta jest nieliniowa, to istnieje takie $\alpha \in ℝ,$ że $f(\alpha )\ne \alpha ,$ czyli $f(\alpha )=\alpha +\delta ,$ dla pewnego $\delta \ne 0.$ Weźmy dowolne koło o środku w punkcie $(x,y)$ i promieniu $r,$ gdzie $x,y,r\in \mathbb{Q}$ (jest to wystarczające, ponieważ ${\mathbb{Q}}^2$ jest gęste w ${ℝ}^2$). Niech $\beta =\frac{y-x}{\delta }$ i $b\ne 0$ będzie taką liczbą wymierną, że $|\beta -b|<\frac{r}{3|\delta |}.$ Ponadto niech $a$ będzie taką liczbą wymierną, że $|\alpha -a|<\frac{r}{3|b|}.$ Weźmy $X=x+b(\alpha -a).$ Wtedy:

$Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))=x+bf(\alpha )-bf(a)=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ab=y+b(\alpha -a)+\delta (b-\beta )$

$(Y-y{)}^2+(X-x^2)=(b(\alpha -a)+\delta (b-\beta ){)}^2+(b(\alpha -a){)}^2<{(\frac{r}{3}+\frac{r}{3})}^2+{\left(\frac{r}{3}\right)}^2=\frac{5}{9}{r}^2<r^2.$

Punkt $(X,Y)$ należy do wnętrza koła, co dowodzi gęstości wykresu funkcji.

Dla $f(1)=0$ dowód wygląda podobnie.

Oznaczamy $f(\alpha )=\delta \ne 0,\beta =\frac{y}{\delta }$ oraz dobieramy $a,b\in \mathbb{Q}$ w ten sposób, aby spełniały $|\beta -b|<\frac{r}{3|\delta |},|\alpha -a|<\frac{r}{3|b|}.$

Podstawiając $X=x+b(\alpha -a)$ otrzymujemy $Y=f(X)=b\delta .$ Zatem

$(Y-y{)}^2+(X-x{)}^2=(b\delta -\beta \delta {)}^2+(b(\alpha -a){)}^2<\frac{r^2}{9}+\frac{r^2}{9}<r^2.$

W takim razie punkt $(X,Y)$ należy do wnętrza koła, co kończy dowód przypadku, gdy $f(1)=0.◻$Szablon:Fakt