Hipoteza Chowli

Hipoteza Chowli jest problemem otwartym z dziedziny teorii liczb. Hipoteza dotyczy zachowania funkcji Möbiusa na przedziałach kolejnych $m$ liczb całkowitych, dla $m$ będącego liczbą naturalną. Została sformułowana przez Sarvadamana Chowlę w 1966.

W uproszczeniu hipoteza mówi, że np. dwójka $(\mu (n),\mu (n+1))$ dla $1⩽n⩽x,$ $n$ bezkwadratowych przyjmuje wartości $(1,1),$ $(1,-1),$ $(-1,1)$ i $(-1,-1)$ „mniej więcej” tak samo często, $(\frac{1}{4}+o(1))x$ razy.

Treść hipotezy

Poniższe sformułowanie hipotezy należy do Terrence’a Tao. Treść można wyrazić na wiele równoważnych sposobów.

Niech $a_1,a_2,\dots ,a_m$ będą nieujemnymi liczbami całkowitymi, z których przynajmniej jedna jest nieparzysta. Wówczas

$\sum _{n⩽x}\mu (n+1{)}^{a_1}\mu (n+2{)}^{a_2}\cdot \dots \cdot \mu (n+m{)}^{a_m}=o(x)$

przy $x\to \mathrm{\infty }.$

Hipotezę można równoważnie sformułować zastępując funkcję Möbiusa funkcją Liouville’a.

W najprostszym przypadku $m=1$ i $a_1=1$ hipoteza postuluje, że

$\sum _{n⩽x}\mu (n)=o(x)$

i jest równoważna twierdzeniu o liczbach pierwszych.

Hipoteza Sarnaka

Hipotezę słabszą od Chowli (implikowaną przez nią) sformułował Peter Sarnak. Opisuje ona zachowanie funkcji $\mu$ z perspektywy teorii układów dynamicznych.

Niech $(X,T)$ będzie dowolnym topologicznym układem dynamicznym, gdzie $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną, a $T$ jest homeomorfizmem o zerowej entropii topologicznej. Wówczas, dla dowolnej funkcji $f\in C(X)$ i dowolnego $x\in X$ zachodzi

$\sum _{n⩽N}f(T^{n}x)\mu (n)=o(N)$

przy $N\to \mathrm{\infty }.$

Wiadomo, że hipoteza Chowli jest równoważna przeformułowanej, tzw. silnej hipotezie Sarnaka.