Energia sprężystości

Szablon:Spis treści Energia sprężystości (sprężysta) – energia nagromadzona w materiale w wyniku jego odkształceń. Jest funkcją tych odkształceń, choć może być wyrażana w zależności od naprężeń, właściwości materiału, przyłożonych sił. Zależności energii sprężystości od wyżej wspomnianych czynników w wielu metodach analiz wytrzymałościowych pozwalają rozwiązywać skomplikowane układy; są często wykorzystywane w metodach numerycznych.

Proste przypadki

• Energia sprężystości dla materiału liniowo-sprężystego w przypadku ściskania:

$\frac{d{U}_N}{dx}=\frac{1}{2}\frac{F_N^2}{EA},$

gdzie:

$F_N$ – siła ściskająca,

$E$ – moduł Younga,

$A$ – pole ściskanego przekroju.

• Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku ścinania:

$\frac{d{U}_T}{dx}=\frac{1}{2}k\frac{F_T^2}{GA},$

gdzie:

$F_T$ – siła ścinająca,

$G$ – moduł Kirchhoffa,

$A$ – pole ściskanego przekroju,

$k$ – współczynnik kształtu.

• Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku zginania:

$\frac{d{U}_N}{dx}=\frac{1}{2}\frac{M_g^2}{E{I}_z},$

gdzie:

$M_g$ – moment gnący,

$E$ – moduł Younga,

$I_z$ – moment bezwładności przekroju.

• Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku skręcania:

$\frac{d{U}_S}{dx}=\frac{1}{2}\frac{M_s^2}{G{I}_o},$

gdzie:

$M_s$ – moment skręcający,

$G$ – moduł Kirchhoffa,

$I_o$ – biegunowy moment bezwładności przekroju.

Wszystkie wzory odnoszą się do jednostki długości pręta $dx.$

Energia właściwa

Energia sprężysta $u$ nagromadzona w jednostce objętości pręta rozciąganego nazywana jest sprężystą energią właściwą lub gęstością energiiSzablon:R. Wyraża się ona wzorem

$u=\frac{1}{2}\sigma ϵ.$

W przypadku złożonego stanu naprężenia możemy, posługując się zasadą superpozycji (sumowania skutków działających naprężeń) i rozważając układ w lokalnym układzie osi głównych (dzięki czemu stan naprężenia opisany jest tylko naprężeniami głównymi), całkowitą energię właściwą układu można przedstawić w postaciSzablon:R

(a)$u=\frac{1}{2}{\sigma }_1{ϵ}_1+\frac{1}{2}{\sigma }_2{ϵ}_2+\frac{1}{2}{\sigma }_3{ϵ}_3,$

gdzie ${\sigma }_i,{ϵ}_i$ są odpowiednio $i$-tym naprężeniem i $i$-tym odkształceniem głównym.

W tym złożonym stanie naprężeń, dylatacja, czyli względna zmiana objętości $V_o=abc$ prostopadłościanu o bokach $a,b,c,$ wyraża się wzorem

(b)$\mathrm{\Theta }=\frac{V_1-V_0}{V_0}={ϵ}_1+{ϵ}_2+{ϵ}_3,$

gdzie:

$\begin{array}{cc}{V}_1& =(a+\mathrm{\Delta }a)(b+\mathrm{\Delta }b)(c+\mathrm{\Delta }c)\\ & =abc(1+\frac{\mathrm{\Delta }a}{a})(1+\frac{\mathrm{\Delta }b}{b})(1+\frac{\mathrm{\Delta }c}{c})\\ & =V_o(1+{ϵ}_1)(1+{ϵ}_2)(1+{ϵ}_3).\end{array}$

Z prawa Hooke’a dla trójwymiarowego stanu naprężenia wynikają wzorySzablon:R

(c1)${\epsilon }_1=\frac{1}{E}[{\sigma }_1-\mu ({\sigma }_2+{\sigma }_3)],$
(c2)${\epsilon }_2=\frac{1}{E}[{\sigma }_2-\mu ({\sigma }_3+{\sigma }_1)],$
(c3)${\epsilon }_3=\frac{1}{E}[{\sigma }_3-\mu ({\sigma }_1+{\sigma }_2)],$

których podstawienie do (a) prowadzi do wyniku

(d)$u=\frac{1}{2E}[{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu ({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_1{\sigma }_3+{\sigma }_2{\sigma }_3)],$

gdzie $\mu$ jest liczbą Poissona.

Podstawienie wzorów (c) do (b) prowadzi do wzoru

(e)$\mathrm{\Theta }=\frac{1-2\mu }{E}({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3),$

z którego wynika, że zmiana objętości $\mathrm{\Theta }$ nie zależy od wartości poszczególnych naprężeń głównych tylko od ich sumy.

Jeżeli wprowadzimy oznaczenieSzablon:R

${\sigma }_{sr}=\frac{1}{3}({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3),$

to zamiast (e) otrzymamy

$\mathrm{\Theta }=\frac{1-2\mu }{E}3{\sigma }_{sr}=\frac{{\sigma }_{sr}}{K},$

gdzie:

$K=\frac{E}{3(1-2\mu )}$

jest modułem odkształcenia objętościowegoSzablon:R.

Naprężeniu ${\sigma }_{sr}$ odpowiada odkształcenie

${ϵ}_{sr}=\frac{1}{3}({ϵ}_1+{ϵ}_3+{ϵ}_3)=\frac{1}{3}\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3}{3K}=\frac{{\sigma }_{sr}}{3K}.$

Energia właściwa $u_v$ odkształcenia objętościowego wyraża się wzorem

$u_v=3\frac{1}{2}{\sigma }_{sr}{ϵ}_{sr}=\frac{{\sigma }_{sr}^2}{2K}=\frac{({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3{)}^2}{18K}$

lub

$u_v=\frac{1-2\mu }{6E}({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3{)}^2.$

Całkowita energia właściwa układu $u$ jest sumą dwu składników: $u=u_v+u_f,$ przy czym $u_v$ jest energią właściwą odkształcenia objętościowego, a $u_f$ – energią właściwą odkształcenia postaciowego.

Energię właściwą odkształcenia postaciowego $u_f$ otrzymamy zatem ze wzoru

$\begin{array}{cc}{u}_f& =u-u_v\\ & =\frac{1}{2E}[{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu ({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1)]\\ & -\frac{1-2\mu }{6E}({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3{)}^2\\ & =\frac{1+\mu }{3E}({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-{\sigma }_1{\sigma }_2-{\sigma }_2{\sigma }_3-{\sigma }_3{\sigma }_1).\end{array}$

Dla prostego rozciągania tzn. gdy, ${\sigma }_1=\sigma ,{\sigma }_2={\sigma }_3=0$ mamy

$u_v=\frac{(1-2\mu ){\sigma }^2}{6E},u_f=\frac{(1+\mu ){\sigma }^2}{3E},u=\frac{{\sigma }^2}{2E}.$

Prostota otrzymanych wzorów wynika z faktuSzablon:R, że stany naprężenia i odkształcenia zostały opisane w lokalnym układzie osi głównych, to znaczy skierowanych zgodnie z kierunkami naprężeń głównych. W dowolnym układzie osi wzory te się komplikują i można je znaleźć w pracachSzablon:R.

Twierdzenia o energii sprężystej

• twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac i przemieszczeń)
• twierdzenie J.C. Maxwella (o wzajemności przemieszczeń): szczególna postać twierdzenia Bettiego, gdy są tylko dwie równe siły
• twierdzenie Castigliano
• twierdzenie Menabrei (zasada minimum pracy)

Zobacz też

• zasada minimum energii potencjalnej