Ściskanie

Szablon:Dopracować Ściskanie – pojęcie z wytrzymałości materiałowej dotyczące sposobu działania ujemnych obciążeń zewnętrznych na materiał.

Ściskanie osiowe

Ściskanie osiowe – w wytrzymałości materiałów definiuje się dwa podstawowe przypadki osiowego ściskania pręta:

• Ściskanie czyste, w którym do poprzecznych przekrojów brzegowych jednorodnego i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie równomiernie rozłożone o stałej gęstości $\sigma$ i o zwrocie przeciwnym do zwrotu wektora normalnego powierzchni ścianki poprzecznej (prostopadłym do ścianki, skierowanym do wewnątrz). Dla tego przypadku wytrzymałościowego znane jest rozwiązanie zagadnienia brzegowego liniowej teorii sprężystości.

• Ściskanie prosteSzablon:R, które różni się od ściskania „czystego” tym, że obciążenie rzeczywiste rozłożone w sposób ciągły zastępuje się dwójką sił skupionych, przeciwnie skierowanych, równych co do wartości i współliniowych, działających w osi tego pręta. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe i dlatego do tego przypadku stosuje się zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego ściskania, przyjmując, że

$\sigma =\frac{F_x}{A},$

gdzie $A$ oznacza pole przekroju poprzecznego pręta.

Ściskanie ma najczęściej miejsce w przypadku prętów lub kolumn.

Rozwiązanie zagadnienia czystego ściskania

Rozwiązanie zagadnienia liniowej teorii sprężystości w przypadku czystego ściskania jest następująceSzablon:R:

UWAGA: Symbole $\sigma$ i $F$ we wszystkich wzorach podanych poniżej nie uwzględniają znaku „$-$”. Operując tymi symbolami, należy pamiętać, że ponieważ siły zewnętrzne zwrócone są przeciwnie do normalnej zewnętrznej powierzchni pręta, to zarówno te siły, jak i występujące w pręcie siły przekrojowe, mają wartości ujemne, a co za tym idzie, odkształcenia i przemieszczenia również są inne. Chodzi o to, żeby we wzorach podstawiać za wielkości $\sigma$ i $F$ wartości ujemne. Dzięki temu widać prostą analogię z rozciąganiem.

Tensor naprężeń:

${\sigma }_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}\sigma & 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

Tensor odkształceń

${\epsilon }_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sigma }{E}& 0& 0\\ 0& -\nu \frac{\sigma }{E}& 0\\ 0& 0& -\nu \frac{\sigma }{E}\end{array}\right)$

gdzie:

$E$ – moduł Younga,

$\nu$ – współczynnik Poissona.

Wektor przemieszczeń $u=[u_1;u_2;u_3]$

• wzdłuż osi pręta

$u_1=\frac{\sigma }{E}{x}_1+a+b{x}_2+c{x}_3,$

• w kierunkach prostopadłych

$u_2=-\nu \frac{\sigma }{E}{x}_2+d-b{x}_1+f{x}_3,$

$u_3=-\nu \frac{\sigma }{E}{x}_3+g-c{x}_1-f{x}_2.$

Stałe $a,b,\dots ,f$ wylicza się na podstawie kinematycznych warunków brzegowych (tj. tego, jak pręt jest utwierdzony).

Warunki projektowania

Pręty ściskane projektuje się ze względu na możliwość wystąpienia dwóch stanów niebezpiecznychSzablon:R:

• graniczny stan nośności – naprężenia nie mogą przekroczyć wytrzymałości na ściskanie ${\sigma }^{max}=\frac{F_x^{max}}{A}<R_s,$

• graniczny stan użytkowania

skrócenie nie może przekroczyć wartości dopuszczalnej $\mathrm{\Delta }L=\left|\frac{F_{x}l}{AE}\right|<\mathrm{\Delta }{L}_{dop}$

albo gdy siła osiowa $F_x$ nie jest stała w całym pręcie (jest funkcją zmiennej x): $\mathrm{\Delta }L=\left|\underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{F_x(x)}{AE}dx\right|<\mathrm{\Delta }{L}_{dop},$

gdzie $l$ – długość początkowa pręta.

Ponadto pręt nie może ulec wyboczeniu.

Przykładowe dane

Poniższa tabela prezentuje przykładowe dane dotyczące wytrzymałości ciał stałych na ściskanie:

Substancja	$R_s$ [MPa]
Diament	17 000
Azotek krzemu	3000
Korund	2400
Dwutlenek cyrkonu	2100
Węglik krzemu	2000
Szkło kwarcowe	1100
Porcelana	500
Kość	150
Lód (0 °C)	3
Styropian	~1

gdzie: $R_s$ – wytrzymałość na ściskanie.

Ściskanie mimośrodowe

Powyżej omówiono przypadki dokładnie osiowego działania siły podłużnej $N,$ co skutkowało brakiem występowania momentów zginających w przekroju poprzecznym pręta. W praktyce występują jednak najczęściej takie przypadki ściskania, w których siła $N$ działa mimośrodowo względem środka ciężkości przekroju poprzecznego i powoduje w ogólności dwuosiowe zginanie pręta.

Oznaczając jego oś przez $0x,$ a mimośrody działania siły $N$ odpowiednio przez $e_y$ i $e_z,$ otrzymuje się na naprężenia normalne wzór

${\sigma }_n=-\frac{N}{A}-\frac{M_z}{J_z}y+\frac{M_y}{J_y}z=\frac{N}{A}[-1-\frac{e_y}{i_y^2}y+\frac{e_z}{i_z^2}z],$

w którym $i_y,$ $i_z$ są tzw. promieniami bezwładności przekroju poprzecznego.

Rdzeń przekroju

Osią obojętną przekroju poprzecznego nazywana jest prosta będąca miejscem geometrycznym punktów, w których spełniony jest warunek ${\sigma }_n=0.$ Równanie tej prostej ma postać

$1+\frac{e_y}{i_y^2}y-\frac{e_z}{i_z^2}z=0,$

z której wynika, że w zależności od wartości mimośrodów $e_y,$ $e_z$ prosta ta może albo 1) przekrój przecinać albo też 2) leżeć poza tym przekrojem. W przypadku 1) część przekroju jest ściskana, a druga – rozciągana. Przypadek 2) zachodzi, gdy cały przekrój jest ściskany (lub rozciągany). Przy projektowaniu konstrukcji z materiałów o niskiej lub żadnej wytrzymałości na rozciąganie (np. sklepienia łukowe lub mury oporowe budowane z kamieni lub cegieł bez zaprawy) dąży się właśnie do tego, aby jej przekroje pracowały tylko na ściskanie.

Rdzeniem przekroju nazywa się miejsce geometryczne punktów o takich wartościach współrzędnych $e_y,$ $e_z$ punktów przyłożenia siły $N$ w przekroju poprzecznym pręta, które spełniają warunek ${\sigma }_n<0$ (lub ${\sigma }_n>0$).

Rdzeń przekroju jest wielokątem wypukłym, którego wierzchołki odpowiadają liniom ograniczającym kształty konturu przekroju poprzecznego. Boki tego wielokąta – z kolei – odpowiadają wierzchołkom konturu przekroju.

Linia ciśnień

Przy projektowaniu łuków i murów oporowych z materiałów o niskiej lub żadnej wytrzymałości na rozciąganie dąży się do tego, aby we wszystkich projektowanych przekrojach położenie działającej siły osiowej $N$ (określone przez mimośrody $e_y$ i $e_z$) znajdowało się wewnątrz lub na brzegu rdzenia przekroju. Linia będąca miejscem geometrycznym punktów o współrzędnych $e_y$ i $e_z$ nosi nazwę linii ciśnień.

Wyboczenie

Błędem byłoby przypuszczać, że różnica między ściskaniem i rozciąganiem sprowadza się tylko do uwzględnienia znaku „$-$” w odpowiednich wielkościach. W rzeczywistości rzadko zachodzi sytuacja, w której projektowany ściskany pręt zostanie zniszczony na skutek przekroczenia jego wytrzymałości na ściskanie. Wcześniej zachodzi zjawisko wyboczenia polegające na tym, że z powodu niedokładnego wykonania (którego nie da się w praktyce uniknąć), pręt jest ściskany mimośrodowo, lub też w wyniku zaburzenia struktury samego materiału pręt zaczyna się wyginać. Wtedy w tensorze naprężeń pojawiają się dodatkowe składowe o wartościach niezerowych i mamy do czynienia z zagadnieniem innym niż czyste ściskanie.

Zobacz też

• docisk
• liczba Poissona
• skręcanie
• statyczna próba rozciągania
• ścinanie
• wyboczenie
• wytężenie
• zginanie