Całka Daniella-Stone’a

Szablon:Spis treści Całka Daniella-Stone’a – model konstrukcji całki zaproponowany w 1918 przez Daniella i Stone’a jako uogólnienie teorii całki Riemanna. Obecnie większą popularnością wśród matematyków cieszy się model zaproponowany przez Lebesgue’a. Względną zaletą modelu Daniella-Stone’a jest brak bezpośredniego odwołania do aparatu teorii miary.

Definicja

Niech $E$ będzie elementarną rodziną funkcji. Funkcjonał $\mu \in E^{\star }$ nazywamy dodatnim, jeśli dla każdej $E\ni f⩾0$ zachodzi $\mu (f)⩾0.$

Funkcjonał liniowy, dodatni, monotonicznie ciągły, określony na pewnej elementarnej rodzinie funkcji $E$ nazywamy całką Daniella-Stone’a. Funkcje z rodziny $E$ nazywamy funkcjami elementarnymi tej całki.

Zamiast $\mu (f)$ całkę Daniella-Stone’a oznaczamy także

$\int fd\mu ,\underset{X}{\int }f(x)d\mu (x),\mathrm{(D)}\int fd\mu .$

Przykłady

• Niech $X$ będzie przedziałem liczbowym postaci $[a,b];$ E=C([a,b]), tzn. $E$ jest przestrzenią funkcji ciągłych na $[a,b].$ W przypadku, gdy

$\mu (f):=\underset{[a,b]}{\int }f(x)dx,$

to całka Daniella-Stone’a jest po prostu całką Riemanna.

• Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą oraz niech $E=C_0(X)$ oznacza zbiór funkcji ciągłych o zwartych nośnikach na $X.$ Jeśli $\mu$ jest funkcjonałem liniowym, dodatnim i ciągłym przy zbieżności niemal jednostajnej, to na mocy twierdzenia Diniego $\mu$ jest monotonicznie ciągły, czyli będzie całką Daniella-Stone’a. Całkę tę nazywamy całką Radona na przestrzeni lokalnie zwartej $X.$
• W poprzednim przykładzie przyjmijmy $X=\mathbb{N}.$ Niech $C_0(\mathbb{N})$ będzie przestrzenią ciągów o skończonej liczbie wyrazów niezerowych. Dla $f\in C_0(\mathbb{N})$ można przyjąć

$\mu (f):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n).$

• Niech $X$ będzie zbiorem niepustym oraz $E$ niech będzie rodziną wszystkich funkcji rzeczywistych na $X.$ Ponadto niech dany będzie punkt $x_0$ ze zbioru $X.$ Dla $f\in E$ można zdefiniować $\mu (f):=f(x_0);$ inne oznaczenie (por. delta Diraca), to

$\mu (f)={\delta }_{x_0}(f).$

Zobacz też

• całka Lebesgue’a
• twierdzenie Riesza-Skorochoda

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę