Atlas (matematyka)

Atlas – kolekcja map, przypisanych pewnej rozmaitości, taka że każdemu podzbiorowi rozmaitości przypisana jest jakaś mapa (zwanej też: mapą współrzędnych lub lokalnym układem współrzędnych). Istnieje wiele możliwych atlasów, jakie można utworzyć dla danej rozmaitości. Atlas opisuje sposób, w jaki rozmaitość jest wyposażona w strukturę różniczkową.

Definicja mapy

Przedstawienie dwóch zgodnych map na rozmaitości wraz z przekształceniem przejścia. Zbiór $U_{\alpha }$ zaznaczono na czerwono, $U_{\beta }$ na niebiesko, a ich część wspólną $U_{\alpha ,\beta }$ na fioletowo; przekształcenie przejścia ${\phi }_{\alpha ,\beta }$ (strzałka po prawej) jest zdefiniowane jako złożenie ${\phi }_{\alpha }^{-}1$ (${\phi }_{\alpha }$ to górna strzałka) oraz ${\phi }_{\beta }$ (dolna strzałka).

Niech dana będzie rozmaitość $M$ o wymiarze $n.$ Niech $U$ będzie otwartym podzbiorem $M.$

Mapą na rozmaitości $M$ w otoczeniu $U$ nazywa się parę $(U,\phi ),$ gdzie

$\phi :U\to V$

jest homeomorfizmem na pewien otwarty podzbiór $V$ przestrzeni ${ℝ}^n.$

Sklejanie map (przekształcenie przejścia)

Dla dwóch map $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$ i $(U_{\beta },{\phi }_{\beta })$ na $M$ o tej własności, że zbiór

$U_{\alpha ,\beta }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }$

jest niepusty, definiuje się przekształcenie przejścia („sklejenie”)

${\phi }_{\alpha ,\beta }:{\phi }_{\alpha }(U_{\alpha ,\beta })\to {\phi }_{\beta }(U_{\alpha ,\beta })$

dane wzorem:

${\phi }_{\alpha ,\beta }={\phi }_{\beta }\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}.$

Przekształcenia ${\phi }_{\alpha }$ i ${\phi }_{\beta }$ są homeomorfizmami, więc ich przekształcenia przejścia są również homeomorfizmami. W ten sposób przekształcenia przejścia również są wyposażone w pewien rodzaj zgodności w tym sensie, iż przejście od układu współrzędnych zadanego jedną z map do układu współrzędnych zadanego na drugiej jest ciągłe.

Zgodność gładka map

Dwie nakładające się mapy $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$ oraz $(U_{\beta },{\phi }_{\beta })$ nazywa się zgodnymi w sposób gładki, jeśli przekształcenie przejścia między nimi jest nieskończenie wiele razy różniczkowalne.

Definicja atlasu

Zbiór $𝒜=\{(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })\}$ map na $M,$ które stanowią pokrycie zbioru $M,$ tj. $\bigcup U_{\alpha }=M,$ nazywany jest atlasem rozmaitości $M.$

Jeśli przeciwdziedziny wszystkich map są $n$-wymiarowymi przestrzeniami euklidesowymi o tym samym wymiarze $n,$ to o rozmaitości $M$ mówimy, że jest rozmaitością $n$-wymiarową.

Własność atlasu

Każdy podzbiór przestrzeni euklidesowej ma atlas przeliczalny (twierdzenie Lindelöfa).

Atlas gładki. Atlasy zgodne. Atlas maksymalny.

1) Atlasem gładkim na $M$ nazywa się atlas, dla którego żąda się dodatkowo, by dla dowolnych dwóch nakładających się map na $M$ przekształcenie przejścia między nimi było zgodne w sposób gładki.

2) Atlasy $𝒜$ oraz $ℬ$ na $M$ nazywa się zgodnymi w sposób gładki, jeśli wszystkie mapy z $𝒜,$ które nakładają się na mapy z $ℬ,$ są zgodne w sposób gładki.

3) Atlas $𝒜\cup ℬ$ utworzony z atlasów $𝒜$ oraz $ℬ$ zgodnych w sposób gładki również jest atlasem gładkim na $M.$

4) Atlasem maksymalnym nazywa się relację równoważności atlasów zgodnych w sposób gładki.

5) Rozmaitości $M$ wraz z atlasem maksymalnym nazywa się rozmaitością o gładkiej strukturze.

Istnieją przykłady rozmaitości topologicznych wyższych wymiarów mające wiele różnych struktur gładkich. Jednym z pierwszych przykładów było odkrycie Johna Milnora sfery egzotycznej – 7-rozmaitości homeomorficznej, lecz nie dyfeomorficznej z 7-sferą.

W ogólności działanie na atlasach maksymalnych rozmaitości jest niewygodne; do pracy wystarczy wybrać jeden atlas gładki. Atlasy maksymalne potrzebne są do jednoznacznego zdefiniowania przekształceń gładkich z jednej rozmaitości w drugą.

Struktura niegładka i analityczna

Wymagania różniczkowalności funkcji przejścia można osłabić, wymagając jedynie, by były one różniczkowalne w sposób ciągły tylko $k$-krotnie; można jest także wzmocnić, aby były analityczne (w sensie rzeczywistym). Daje to odpowiednio strukturę C^k lub strukturę analityczną na rozmaitości zamiast struktury gładkiej.

Podobnie definiuje się struktury różniczkowe na rozmaitości zespolonej, wymagając, by przekształcenia przejścia były holomorficzne.

Zobacz też

• dyfeomorfizm
• pierścień bordyzmu

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld