Bordyzm

Bordyzm $(W;M,N).$

Bordyzm – relacja równoważności w zbiorze zwartych rozmaitości różniczkowych. Na zbiorze klas abstrakcji tej relacji można zdefiniować działania w taki sposób, aby miał on strukturę pierścienia. Badanie relacji bordyzmu jest jednym z głównych nurtów w topologii algebraicznej.

Dwie n-wymiarowe rozmaitości zwarte $M,N$ nazywamy bordycznymi, jeśli istnieje (n + 1)-wymiarowa rozmaitość różniczkowa z brzegiem $W,$ której brzeg jest dyfeomorficzny z sumą rozłączną $M\bigsqcup N.$ Fakt ten oznaczamy to przez $(W;M,N).$ Bordyzm jest relacją równoważności między rozmaitościami $M$ i $N$. Zbiór klas abstrakcji tej relacji oznaczamy ${\mathrm{\Omega }}_n.$ Zbiór ${\mathrm{\Omega }}_n$ jest grupą abelową względem dodawania zdefiniowanego następująco:

$[M]+[N]:=[M\bigsqcup N],$

gdzie $[M\bigsqcup N]$ jest sumą rozłączną rozmaitości $M$ i $N$.

W sumie prostej

${\mathrm{\Omega }}_{\star }=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{\mathrm{\Omega }}_n$

możemy zdefiniować strukturę pierścienia. Dla dowolnych klas $[M]\in {\mathrm{\Omega }}_k,[N]\in {\mathrm{\Omega }}_n$ definiujemy mnożenie jako iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych:

$[M]\cdot [N]:=[M\times N],$

które można rozszerzyć na cały zbiór ${\mathrm{\Omega }}_{\star }.$ Mnożenie to jest łączne i rozdzielne względem dodawania. Jednością jest klasa bordyzmów jednego punktu. Grupy ${\mathrm{\Omega }}_n$ określają gradację pierścienia ${\mathrm{\Omega }}_{\star }$.