Średnia Stolarskiego

Średnia Stolarskiego – średnia, której szczególnymi przypadkami jest wiele klasycznych średnich, zdefiniowana dla ustalonego parametru p oraz dodatnich argumentów wzorem

$S_p(x,y)=\{\begin{array}{cc}x& \text{jeśli }x=y\\ {\left(\frac{x^p-y^p}{p(x-y)}\right)}^{\frac{1}{p-1}}& \text{wpp.}\end{array}.$

Gdzie parametr $p\in ℝ/\{0,1\}.$

Można pokazać, że tak zdefiniowana funkcja jest średnią jej argumentów stosując twierdzenia Lagrange’a dla liczb x i y oraz funkcji $f(x)=x^p.$

Szczególne przypadki

• $\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_p(x,y)$ jest minimum.
• $S_{-1}(x,y)$ jest średnią geometryczną.
• $\underset{p\to 0}{\lim }{S}_p(x,y)$ jest średnią logarytmiczną.
• $S_{\frac{1}{2}}(x,y)$ jest średnią potęgową dla wykładnika ½.
• $S_2(x,y)$ jest średnią arytmetyczną.
• $\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_p(x,y)$ jest maksimum.

Bibliografia

• Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87-92
• Szablon:MathWorld