Ślimak Teodorosa

Ślimak Teodorosa

Ślimak Teodorosa, spirala Teodorosa – konstrukcja geometryczna, pozwalająca stworzyć odcinek o długości równej pierwiastkowi z danej liczby naturalnejSzablon:R. Zasada konstrukcji opiera się na twierdzeniu Pitagorasa. Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego matematyka i filozofa, Teodorosa z Cyreny. Autorem konstrukcji był Jakob Heinrich Anderhub, matematyk amator, który opisał ją w pracy Joco-Seria, aus den Papieren eines reisenden Kaufmanns z 1941 rokuSzablon:Odn.

Opis konstrukcji

1. Budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1. Przeciwprostokątna trójkąta ma długość $\sqrt{2}.$
2. Konstruujemy kolejny trójkąt prostokątny, którego jedną przyprostokątną jest przeciwprostokątna trójkąta z pkt. 1, a druga przyprostokątna ma długość 1. Przeciwprostokątna otrzymanego trójkąta ma długość $\sqrt{3}.$
3. Czynność tę powtarzamy, tworząc kolejne trójkąty prostokątne. Za każdym razem jedna z przyprostokątnych jest zarazem przeciwprostokątną trójkąta z poprzedniego kroku, a druga ma długość 1. Długości przeciwprostokątnych są pierwiastkami kolejnych liczb naturalnych.

Konstrukcja w 17 kroku prowadzi do nakładania się trójkątów na siebieSzablon:R, jak na ilustracji obok. Jeśli będzie kontynuowana, trzecia grupa trójkątów podwójnie nakładających się na siebie nastąpi w 54. kroku itd.

Najprostsze własności

$n$-ty trójkąt konstrukcji

Niech ${\phi }_n$ oznacza kąt ostry $n$-tego trójkąta o wierzchołku w środku całej konstrukcji. Wówczas:

$\mathrm{tg}{\phi }_n=\frac{1}{\sqrt{n}}.$

Stąd oczywiście:

${\phi }_n=\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{n}}.$

Suma

$\sum _{k=1}^n{\phi }_k$

wyznacza kąt dla przeciwprostokątnej $n$-tego trójkąta o długości $\sqrt{n+1}$ względem przyprostokątnej o długości $\sqrt{1}$ 1-go trójkąta poprowadzonej ze środka konstrukcji.

W 1958 roku Erich Teuffel udowodnił, że żadne dwie przeciwprostokątne nie pokryją się, tzn.

$\sum _{k=1}^{n_1}{\phi }_k\ne \sum _{k=1}^{n_2}{\phi }_k$ dla $n_1\ne n_2$Szablon:R.

Historia

Rozszerzony ślimak Teodorosa.

Konstrukcja zwana ślimakiem Teodorosa była niekiedy przypisywana Teodorosowi jako stosowana przez niego metoda wyznaczania odcinka o długości proporcjonalnej do pierwiastka kwadratowego z całkowitej wielokrotności danego odcinka jednostkowego. W rzeczywistości pitagorejczycy, którzy opracowali i rozwinęli metodę kwadratury wielokątów, potrafili „pierwiastkować” odcinki o dowolnej rzeczywistej nieujemnej długości. Np. kwadratura dowolnego trójkąta o podstawie 2 i wysokości $h$ prowadziła „w jednym kroku” do konstrukcji kwadratu o boku $\sqrt{h}(h\in R^{+}),$ podczas gdy metoda użyta w ślimaku Teodorosa jest niepraktyczna i żmudna – wyznaczenie odcinka długości $\sqrt{n}(n\in N)$ wymaga $n$-krotnego powtórzenia każdego kroku konstrukcji.

Ślimak Teodorosa jest znany głównie dzięki fragmentowi dialogu Platona TeajtetSzablon:R będącego relacją z badań Teodorosa nad niewymiernością boków kwadratów o danych całkowitych polach.

Wzmianka o siedemnastostopowym kwadracie w zdaniu Szablon:Cytat

wywoływała wiele domysłów i spekulacji próbujących znaleźć przyczynę zatrzymania się Teodorosa w swoich badaniach właśnie na kwadracie o polu 17Szablon:Odn.

Przez zbieżność tej siedemnastki z siedemnastym krokiem konstrukcji ślimaka Teodorosa, w którym trójkąt nakłada się na pierwszy już narysowany, konstrukcja ta była traktowana jako jedno z możliwych wyjaśnień tego fragmentu z Platona.

Funkcja Teodorosa i stała Teodorosa

Linia łamana, utworzona przez krótsze przyprostokątne opisanych wyżej trójkątów prostokątnych (przyprostokątne o długości 1), bywa niekiedy nazywana dyskretną spiralą TeodorosaSzablon:R. Philip Davis określił położenie wierzchołków tej spirali na płaszczyźnie zespolonej poprzez równanie rekurencyjneSzablon:Odn:

$z_0=1,z_{n+1}=z_n+i\frac{z_n}{|z_n|},$

gdzie $i$ jest jednostką urojoną, $|z|$ oznacza moduł liczby zespolonej $z.$

Wzór

$|z_n|=\sqrt{n+1}$

łatwo można wykazać indukcyjnie, bo $|z_0|=\sqrt{1}=1$ oraz

$|z_n|=|z_{n-1}+\frac{i{z}_{n-1}}{|z_{n-1}|}|=|z_{n-1}|\cdot |1+\frac{i}{|z_{n-1}|}|\stackrel{*}{=}\sqrt{n}\cdot |1+\frac{i}{\sqrt{n}}|=|\sqrt{n}+i|=\sqrt{n+1},$

w miejscu oznaczonym gwiazdką (*) wykorzystano założenie indukcyjne $|z_{n-1}|=\sqrt{n}.$

Korzystając z powyższej własności, Davis przekształcił wzór rekurencyjny w postaci iteracyjnejSzablon:Odn

$z_n=\prod _{k=1}^n(1+\frac{i}{\sqrt{k}}).$

Zagadnienie, jak zinterpolować wierzchołki dyskretnej spirali Teodorusa za pomocą krzywej gładkiej, postawił i rozwiązał DavisSzablon:Odn, wykorzystując analogię z wzorem Eulera dla funkcji gamma jako rozszerzenia silni. Jako rozwiązanie zagadnienia przedstawił wzór:

$T(x)=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+\frac{i}{\sqrt{k}}}{1+\frac{i}{\sqrt{k+x}}},$

wykazał jego zbieżność dla $x>-1$ i zaproponował dla niego nazwę funkcja Teodorosa.

Stałą Teodorosa $T$ nazwał Davis nachylenie (gradient) funkcji Teodorosa w punkcie $(0,0)$Szablon:R:

$\begin{array}{cc}T& =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}}\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{3/2}+k^{1/2}}\\ & =\frac{1}{2}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k[\zeta (k+\frac{1}{2})-1]\\ & =1,8600250...,\end{array}$

gdzie $\zeta (z)$ jest funkcją dzeta Riemanna.

Stosując zaawansowane metody analityczne i numeryczne, stałą Teodorosa do 50. miejsca po przecinku obliczył Walter GautschiSzablon:OdnSzablon:R.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj stronę
• Szablon:MathWorld