Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika – przekształcenie wyrażenia arytmetycznego będącego ułamkiem tak, aby w mianowniku znalazła się liczba wymierna.

Przykłady

Ilustracja wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch liczb rzeczywistych: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$ Wzór ten bywa używany do usuwania niewymierności z mianowników.

Niektóre problemy tego typu można rozwiązać wzorami skróconego mnożenia, np. wzorem na różnicę kwadratów:

$\begin{array}{cc}\frac{2}{\sqrt{11}-3}& =\frac{2(\sqrt{11}+3)}{(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)}=\\ & =\frac{2(\sqrt{11}+3)}{11-3^2}=\frac{2(3+\sqrt{11})}{2}=\\ & =3+\sqrt{11}.\end{array}$

W przypadku pierwiastków trzeciego stopnia można skorzystać ze wzoru na różnicę sześcianówSzablon:Odn:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt[3]{9}-2}& =\frac{{\sqrt[3]{9}}^2+2\sqrt[3]{9}+2^2}{(\sqrt[3]{9}-2)({\sqrt[3]{9}}^2+2\sqrt[3]{9}+2^2)}=\\ & =\frac{\sqrt[3]{3^4}+2\sqrt[3]{9}+4}{9-2^3}=\\ & =4+3\sqrt[3]{3}+2\sqrt[3]{9}.\end{array}$

Pokrewne problemy

Metody używane do usuwania niewymierności z mianownika są też używane w algebrze i analizie, np. do:

• dzielenia liczb zespolonych;
• obliczania granic funkcji przez usuwanie pierwiastków z mianowników wyrażeń algebraicznych.

Zobacz też

• pierwiastnik
• liczby algebraiczne
• liczby przestępne

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Usuwanie niewymierności z mianownika, Uniwersytet Śląski w Katowicach – kanał na YouTube, 3 marca 2014 [dostęp 2024-08-28].
• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Usuwanie niewymierności z mianownika, kanał Khan Academy na YouTube, 26 czerwca 2014 [dostęp 2024-08-28].
• Szablon:Otwarty dostęp Rationalizing the denominator Szablon:Lang, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-08-28].
• Szablon:Otwarty dostęp Przykład usuwania niewymierności Szablon:Lang przez program Wolfram Alpha, wolframalpha.com [dostęp 2024-08-28].