Lemat Scheffégo

Lemat Scheffégo – twierdzenie teorii miary mówiące, że jeżeli ciąg $(f_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ funkcji całkowalnych na pewnej przestrzeni z miarą $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mu )$ zbiega punktowo (w szczególności: zbiega prawie wszędzie) do funkcji całkowalnej $f$ określonej na tej samej przestrzeni, to

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f_n-f|\mathrm{d}\mu =0$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f_n|\mathrm{d}\mu =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f|\mathrm{d}\mu .$

Twierdzenie udowodnione w 1947 roku przez Henry’ego Scheffégo jest w istocie szczególnym przypadkiem twierdzenia Frigyesa Riesza z 1928 roku.

Rachunek prawdopodobieństwa

Niech $X$ będzie zmienną losową określoną na ustalonej przestrzeni probabilistycznej $(\mathrm{\Omega },ℱ,𝖯),$ która ma gęstość $f$ oraz dany będzie ciąg $(X_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni, któremu odpowiada ciąg gęstości $(f_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}.$ Z lematu Scheffégo wynika, że jeśli $f_n\to f$ punktowo/prawie wszędzie, to $X_n\to X$ według rozkładu.

Otóż jeśli $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=f(x)$ dla (prawie) wszystkich $x\in X,$ to

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A\in ℱ}{\sup }|𝖯(X_n\in A)-𝖯(X\in A)|=0.$

Istotnie

$\begin{array}{cc}\underset{A\in ℱ}{\sup }|𝖯(X_n\in A)-𝖯(X\in A)|& =\underset{A\in ℱ}{\sup }|\underset{A}{\int }(f_n-f)\mathrm{d}\mathrm{\lambda }|\\ & ⩽\underset{A\in ℱ}{\sup }\underset{A}{\int }|f_n-f|\mathrm{d}\mathrm{\lambda }\\ & =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f_n-f|\mathrm{d}\mathrm{\lambda }\mathrm{\to }\mathrm{0},\end{array}$

gdzie zbieżność wynika z lematu Scheffégo (zaś $\lambda$ oznacza miarę Lebesgue’a).

Twierdzenie odwrotne nie zachodzi: na ogół zbieżność według rozkładu ciągu zmiennych losowych nie pociąga zbieżności ciągu odpowiadających im gęstości. Przykładem może być ciąg zmiennych losowych o gęstościach

$f_n(x)=(1-\cos (2\pi nx)){\mathrm{𝟣}}_{(0,1)}(x),$

który zbiega według rozkładu do zmiennej o rozkładzie jednorodnym $\mathrm{U}(0,1),$ podczas gdy ciąg ich gęstości jest rozbieżny.

Bibliografia

• N. Kusolitsch, Why the theorem of Scheffé should be rather called a theorem of Riesz, Periodica Mathematica Hungarica 61 (2010), s. 225–229.