Filtr (teoria zbiorów)

Rodzina $ℱ$ podzbiorów zbioru $X$ jest filtrem podzbiorów zbioru $X$ jeśli są spełnione następujące warunki:

(i) Jeśli $A\subseteq B\subseteq X$ i $A\in ℱ,$ to również $B\in ℱ.$

(ii) Część wspólna skończonej liczby elementów rodziny $ℱ$ należy do $ℱ.$

(iii) $\varnothing \notin ℱ$.

Z aksjomatu (ii) i (iii) wynika, że przecięcie dowolnej skończonej liczby zbiorów rodziny $ℱ$ jest niepuste.

Aksjomat (ii) jest równoważny dwóm następującym:

(ii₁) Jeśli $A,B\in ℱ,$ to $A\cap B\in ℱ,$

(ii₂) Zbiór $X$ należy do $ℱ$Szablon:R.

Przykłady

• Każdy filtr $ℱ$ w zbiorze skończonym $X$ jest rodziną podzbiorów $X$ zawierającą ustalony zbiór $A\subset X.$ Zbiór $A$ jest zbiorem filtra $ℱ$ o najmniejszej liczbie elementów. Gdyby jakikolwiek inny element filtra nie zawierał zbioru $A,$ to jego część wspólna z $A$ byłaby albo zbiorem pustym albo zbiorem o mniejszej liczbie elementów, co przeczy założeniu o zbiorze $A.$
• Zbiór wszystkich otoczeń niepustego zbioru w przestrzeni topologicznej $X$ jest filtrem. W szczególności zbiór otoczeń punktu jest filtrem.
• Jeśli $X$ jest zbiorem nieskończonym, to dopełnienia do jego skończonych podzbiorów tworzą filtr nazywany filtrem Frecheta.
• Częścią wspólną filtrów ${ℱ}_1$ i ${ℱ}_2$ danych w tym samym zbiorze $X$ jest zbiór wszystkich sum $M\cup N,$ gdzie $M\in {ℱ}_1$ i $N\in {ℱ}_2.$

Porównanie filtrów

Niech ${ℱ}_1$ i ${ℱ}_2$ będą filtrami w danym zbiorze $X.$ Filtr ${ℱ}_2$ majoryzuje filtr ${ℱ}_1$ (albo ${ℱ}_1$ minoryzuje ${ℱ}_2$), gdy ${ℱ}_1\subseteq {ℱ}_2.$ Jeśli ponadto ${ℱ}_1\ne {ℱ}_2,$ to mówi się, że ${ℱ}_2$ jest silniejszy od ${ℱ}_1,$ albo że ${ℱ}_1$ jest słabszy od ${ℱ}_2$Szablon:R.

Dwa filtry, z których jeden majoryzuje drugi, nazywają się filtrami porównywalnymi. Zbiór wszystkich filtrów w ustalonym zbiorze $X$ jest uporządkowany przez relację majoryzacji. Relacja ta jest relacją indukowaną przez relację inkluzji w zbiorze podzbiorów zbioru potęgowego $\mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(X)).$

Własności

• Najmniejszym filtrem w zbiorze $X$ jest filtr jednoelementowy $\{X\}.$
• Dla każdego niepustego zbioru filtrów $({ℱ}_i{)}_{i\in I},$ część wspólna

$ℱ=\bigcap _{i\in I}{ℱ}_i$

jest filtrem, który jest w szczególności kresem dolnym zbioru $\{{ℱ}_i:i\in I\}$ w zbiorze wszystkich filtrów w $X,$ uporządkowanym przez inkluzjęSzablon:R.

• Aby w $X$ istniał filtr ${ℱ}_S$ zawierający daną rodzinę zbiorów $S\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ potrzeba i wystarcza, aby część wspólna każdej skończonej liczby zbiorów z $S$ była niepusta. Mówi się wówczas, że filtr ${ℱ}_S$ jest generowany przez zbiór $S,$ a zbiór $S$ jest układem generatorów filtru ${ℱ}_S$Szablon:R.
• Aby istniał filtr ${ℱ}_1$ w zbiorze $X$ majoryzujący filtr $ℱ,$ który zawiera zbiór $A\subseteq X$ potrzeba i wystarcza, aby zbiór $A$ miał niepuste przecięcie z każdym zbiorem z filtru $ℱ$Szablon:R.

Baza filtra

Zbiór $ℬ$ podzbiorów zbioru $X$ nazywa się bazą generowanego przez siebie filtra, jeśli:

• Część wspólna dowolnych dwóch elementów zbioru $ℬ$ zawiera pewien zbiór $ℬ.$
• $ℬ$ jest zbiorem niepustym, a pusty podzbiór zbioru $X$ nie należy do $ℬ$Szablon:R.

Własności bazy filtra

• Aby podzbiór $ℬ$ filtra $ℱ$ był jego bazą potrzeba i wystarcza, aby każdy zbiór należący do $ℱ$ zawierał pewien zbiór z $ℬ$Szablon:R.
• Aby filtr ${ℱ}^{\prime }$ w $X$ o bazie ${ℬ}^{\prime }$ majoryzował filtr $ℱ$ w $X$ o bazie $ℬ$ potrzeba i wystarcza, aby każdy zbiór należący do $ℬ$ zawierał pewien zbiór należący do ${ℬ}^{\prime }$Szablon:R.

Minimalną $ℱ$ moc bazy filtru nazywa się charakterem filtru i oznacza symbolem $\chi (ℱ)$ (por. diagram Cichonia).

Ultrafiltry

Ultrafiltr w zbiorze $X$ to każdy taki filtr w tym zbiorze, który nie jest majoryzowany przez żaden inny filtr właściwy w $X$Szablon:R.

Własności

• Każdy filtr $ℱ$ w zbiorze $X$ jest majoryzowany przez pewien ultrafiltrSzablon:R.

Dowód. Niech $ℝ$ oznacza rodzinę wszystkich filtrów właściwych zawierających $ℱ.$ Rodzina ta jest niepusta bo $ℱ\in ℝ.$ Niech $ℒ$ będzie łańcuchem w $ℝ.$ Rodzina $\cup ℒ$ jest właściwym filtrem w $X.$ Rzeczywiście, zbiór pusty nie należy do żadnego elementu rodziny $ℒ,$ nie należy też zatem do $\cup ℒ.$ Niech $A,B\in \cup ℒ.$ Istnieje wówczas taki filtr ${ℱ}_0,$ że $A,B\in {ℱ}_0,$ skąd $A\cap B\in {ℱ}_0\subseteq \cup ℒ.$ Podobnie, jeżeli $A\in \cup ℒ$ oraz $B\supseteq A,$ to $B\in {ℱ}_0$ dla pewnego ${ℱ}_0\in ℒ,$ czyli $B\in \cup ℒ.$ Pokazuje to, że $\cup ℒ$ jest filtrem właściwym. Z lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że w $ℝ$ istnieje element maksymalny.

• Niech $ℱ$ będzie filtrem w zbiorze $X.$ Wówczas $ℱ$ jest ultrafiltrem wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych dwóch podzbiorów $A,B$ zbioru $X,$ jeśli $A\cup B\in ℱ,$ to $A\in ℱ$ lub $B\in ℱ$Szablon:R.
• Niech $ℱ$ będzie filtrem w zbiorze $X.$ Wówczas $ℱ$ jest ultrafiltrem wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $A\subseteq X$ albo $A\in ℱ$ albo $XA\in ℱ$Szablon:R.
• Każdy filtr jest częścią wspólną wszystkich majoryzujących go ultrafiltrówSzablon:R.
• Jeżeli $X$ jest niepustym zbiorem, to dla każdego $a\in X$ rodzina

${ℱ}_a=\{A\subseteq X:a\in A\}$

jest ultrafiltrem w $X,$ bo dla każdego zbioru $A\subseteq X$ dokładnie jeden ze zbiorów $A$ i $XA$ należy do ${ℱ}_a.$

Filtr indukowany

Jeśli $ℱ$ jest filtrem w zbiorze $X$ oraz $A\subset X,$ to zbiór ${ℱ}_A=\{Y\cap A:Y\in ℱ\}$ nazywany jest śladem tego filtra na zbiorze $A.$ Ślad ten jest filtrem wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór rodziny $ℱ$ ma niepuste przecięcie ze zbiorem $A$ i nazywany jest wtedy filtrem indukowanym w $A$ przez $ℱ$Szablon:R.

Ultrafiltr $𝒰$ w zbiorze $X$ indukuje filtr ${𝒰}_A$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\subset 𝒰.$ Filtr ${𝒰}_A$ jest wtedy ultrafiltrem.

Własności

• Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną, $A\subset X.$ Wtedy ślad na ${ℱ}_A$ filtra $ℱ$ otoczeń punktu $x\in X$ jest filtrem w zbiorze $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy punkt ten jest punktem skupienia zbioru $A.$
• Dla każdego filtra $ℱ$ w zbiorze $X$ niech $\omega \notin X$ oraz ${ℱ}^{\prime }=\{M\cup \{\omega \}:M\in ℱ\}.$ W zbiorze $X^{\prime }=X\cup \{\omega \}$ określmy bazę otoczeń dowolnego punktu $x\in X$ jako rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru $X^{\prime }$ zawierających ten punkt, a bazą otoczeń punktu $\omega$ niech będzie ${ℱ}^{\prime }.$ Określają one topologię na $X^{\prime },$ a $ℱ$ jest filtrem indukowanym przez filtr ${ℱ}^{\prime }$ otoczeń punktu $\omega .$ Topologia w $X^{\prime }$ nazywana jest topologią skojarzoną z filtrem $ℱ.$

Filtr elementarny

Filtrem elementarnym skorelowanym z ciągiem $(x_n)$ elementów zbioru $X$ jest rodzina zbiorów $M\subset X$ zawierających wszystkie elementy tego ciągu z wyjątkiem skończonej ich liczby. Bazą tego filtru jest rodzina zbiorów $S_p=\{x_n:n>p\}$ dla $p\in {\mathbb{Z}}_{+}.$ Zatem każdy filtr elementarny ma bazę przeliczalnąSzablon:R.

Własności

• Filtr elementarny skorelowany z podciągiem ciągu $(x_n)$ majoryzuje filtr elementarny skorelowany z ciągiem $(x_n)$Szablon:R.
• Jeśli filtr $ℱ$ ma bazę przeliczalną, to jest częścią wspólną wszystkich majoryzujących go filtrów elementarnychSzablon:R.
• Filtr dopełnień podzbiorów skończonych nieskończonego zbioru $X$ jest częścią wspólną wszystkich filtrów elementarnych skorelowanych z ciągami nieskończonymi złożonymi z różnych elementów $X.$

Filtr w przestrzeni topologicznej

Granica filtra

Jeśli $ℱ$ jest filtrem w przestrzeni topologicznej $X,$ to mówi się, że punkt $x\in X$ jest granicą tego filtra (lub że filtr ten jest zbieżny do tego punktu), jeśli $ℱ$ majoryzuje filtr $ℬ(x)$ otoczeń punktu $x.$

Jeśli $ℬ$ jest bazą filtra $ℱ,$ to punkt $x$ nazywany jest granicą tej bazy, jeśli jest granicą filtra przez tę bazę generowanego.

Własności

• Jeśli filtr $ℱ$ jest zbieżny do $x,$ to każdy filtr majoryzujący $ℱ$ jest także zbieżny do $x.$
• Jeśli filtr jest zbieżny w pewnej topologii, to jest zbieżny także w każdej topologii słabszej.
• W pewnej przestrzeni topologicznej $X$ filtr $ℱ$ jest zbieżny do $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ultrafiltr majoryzujący $ℱ$ jest zbieżny do $x.$

Punkt skupienia bazy filtra

Punkt przestrzeni topologicznej $X$ nazywany jest punktem skupienia bazy $ℬ$ filtra $ℱ$ w tej przestrzeni, jeśli jest punktem skupienia każdego zbioru tej bazy. Punk taki jest punktem skupienia samego filtra $ℱ$.

Punkt $x\in X$ jest punktem skupienia filtra $ℱ$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje filtr majoryzujący $ℱ$ i zbieżny do $x.$ Oznacza to, że istnieje filtr, który majoryzuje jednocześnie $ℱ$ i filtr otoczeń punktu $x.$ Dla ultrafiltra punkt jest jego punktem skupienia wtedy i tylko wtedy, gdy jest jego granicąSzablon:R.

Zbiór wszystkich punktów skupienia bazy filtra jest zbiorem domkniętymSzablon:R.

Własności

• W przestrzeni Hausdorffa każdy filtr ma co najwyżej jedną granicę. Jeśli w przestrzeni topologicznej każdy filtr ma nie więcej niż jedną granicę, to przestrzeń ta jest przestrzenią Hausdorffa.
• Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy granica filtra zbieżnego jest jego jedynym punktem skupienia.

Granica funkcji względem filtra

Jeśli $f:X\to Y$ jest odwzorowaniem zbioru $X$ w przestrzeń topologiczną $Y$ i $ℱ$ jest filtrem w zbiorze $X,$ to punkt $y\in Y$ nazywany jest granicą funkcji $f$ względem filtra $ℱ$, jeśli baza filtra $f(ℱ)$ jest zbieżna do $y.$ Zapisuje się to jako $y=\underset{x,ℱ}{\lim }f(x)$ lub, jeśli nie prowadzi to do nieporozumień, jako $y=\underset{x}{\lim }f(x).$

Aby $y\in Y$ było granicą funkcji $f$ względem filtra $ℱ$ potrzeba i wystarcza, aby dla dowolnego otoczenia $V$ punktu $y$ w przestrzeni $Y$ istniał taki zbiór $M\in ℱ,$ że $f(M)\subset V.$

Granica i ciągłość funkcji

Jeśli $X,Y$ są przestrzeniami topologicznymi, $f:X\to Y,$ a $ℬ$ jest filtrem otoczeń punktu $a\in X,$ to punkt $y\in Y$ nazywamy granicą funkcji $f$ w punkcie $a,$ jeśli

$y=\underset{ℬ}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }f(x)$.

Funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła w punkcie $a\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy $y=\underset{x\to a}{\lim }f(x)$Szablon:R.

Kiełki względem filtra

Niech $ℱ$ będzie filtrem w zbiorze $X.$ Wtedy w zbiorze $𝒫(X)$ wszystkich podzbiorów zbioru $X$ można określić relację $\rho :$

$M\rho N\iff {\mathrm{\exists }}_{U\in ℱ}M\cap U=N\cap U.$

Relacja ta jest relacją równoważności. Klasa równoważności $\xi =[M{]}_{\rho }$ zbioru $M\subset X$ nazywana jest kiełkiem zbioru względem filtra $ℱ,$ a zbiór ilorazowy $𝒫(X)/\rho$ – zbiorem kiełków podzbiorów zbioru $X$ względem filtra $ℱ$Szablon:R.

Suma zbiorów i ich część wspólna są zgodne z relacją $\rho :$

$[M\cup N{]}_{\rho }=[M{]}_{\rho }\cup [N{]}_{\rho },$

$[M\cap N{]}_{\rho }=[M{]}_{\rho }\cap [N{]}_{\rho }.$

Dlatego operacje te indukują na zbiorze kiełków operacje sumy i części wspólnej kiełków. Dla dwóch kiełków $\xi ,\eta$ można zdefiniować relację:

$\xi \subset \eta \iff \xi =\xi \cap \eta ,$

która jest relacją częściowego porządku na zbiorze $𝒫(X)/\rho .$ Względem tej relacji zbiór $𝒫(X)/\rho$ jest kratą, której najmniejszym elementem jest kiełek $\varnothing =[\varnothing {]}_{\rho },$ a największym elementem jest kiełek $[X{]}_{\rho }$Szablon:R.

Relacja $\xi \subset \eta$ oznacza, że istnieją takie zbiory $M\in \xi ,N\in \eta ,V\in ℱ,$ dla których $M\cap V=N\cap V.$

Niech $X,X^{\prime }$ będą zbiorami, a $ℱ$ będzie filtrem w $X.$ W zbiorze $\mathrm{\Phi }=\{f:V\to X^{\prime }:V\in ℱ\}$ można określić relację równoważności $\sigma :$

$f\sigma g\iff {\mathrm{\exists }}_{V\in ℱ}f{|}_V=g{|}_V.$

Klasy równoważności relacji $\sigma$ nazywane są kiełkami funkcji względem filtra, a zbiór ilorazowy $\hat{\mathrm{\Phi }}=\mathrm{\Phi }/\sigma$ zbiorem kiełków funkcji z $X$ w $X^{\prime }$ względem filtra $ℱ.$

Przykłady

• W teorii funkcji rozpatruje się kiełki funkcji względem filtrów otoczeń punktu. Są one podstawowym narzędziem badania lokalnych własności funkcji różniczkowalnych, umożliwiającym algebraizację wielu problemów.
• W teorii funkcji zespolonych rozpatrywane są kiełki funkcji holomorficznych oraz snopy kiełków funkcji holomorficznych. Snopy umożliwiają badanie globalnych własności funkcji holomorficznych.