Liczby harmoniczne

Liczby harmoniczne – sumy odwrotności początkowych liczb naturalnych:

H_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} .

$H_{n}$ jest więc $n$ -krotną odwrotnością średniej harmonicznej tych liczb naturalnych.

Liczby harmoniczne były badane w starożytności i pełnią ważną rolę w wielu działach teorii liczb. Potocznie nazywane są szeregiem harmonicznym, są blisko związane z funkcją ζ Riemanna, a także pojawiają się w różnych wyrażeniach licznych funkcji specjalnych.

Dla dowolnego rzeczywistego $m$ istnieje takie naturalne $n,$ dla którego $H_{n} > m .$ Wynika to bezpośrednio z rozbieżności szeregu harmonicznego.

Obliczanie

Leonhard Euler podał następujący wzór^[1]:

H_{n} = \int_{0}^{1} \frac{1 - x^{n}}{1 - x} d x .

Powyższa równość jest oczywista dzięki przekształceniom algebraicznym poniższej tożsamości:

\frac{1 - x^{n}}{1 - x} = 1 + x + \dots + x^{n - 1} .

Liczby harmoniczne pojawiają się w wielu wzorach obliczeniowych, jak na przykład funkcja digamma:

ψ (n) = H_{n - 1} - γ,

gdzie $γ$ to stała Eulera. Związek ten jest często stosowany do zdefiniowania przedłużenia liczb harmonicznych poza liczby naturalne $n .$

W 2002 roku Jeffrey Lagarias udowodnił, że hipoteza Riemanna może być zastąpiona równoważnym wyrażeniem, że

σ (n) ⩽ H_{n} + \ln (H_{n}) e^{H_{n}}

jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej $n ⩾ 1,$ z ostrą nierównością jeśli $n > 1;$ $σ (n)$ oznacza sumę dzielników liczby $n$ ^[2].

Uogólnione liczby harmoniczne rzędu $n$ z $m$ są zdefiniowane jako^[3]

H_{n, m} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{m}} .

Należy zauważyć, że jeśli $m > 1$ to istnieje granica przy $n$ zmierzającym do nieskończoności.

Inne stosowane zapisy to

H_{n, m} = H_{n}^{(m)} = H_{m} (n) .

Przypadek dla wartości $m = 1$ jest przypadkiem specjalnym, który nazywa się liczbą harmoniczną, a indeks $m$ jest w zapisie pomijany^[3].