Liczba idealna

Liczba idealna – dywizor pierścienia liczb całkowitych $A$ pewnego ciała liczb algebraicznych nazywane często „dywizorami całkowitymi” pierścienia $A.$ Wspomniane dywizory tworzą półgrupę wolną z jedynką, a jej wolne generatory to tzw. pierwsze liczby idealne. Liczby idealne można utożsamiać z ideałami pierścienia $A$.

Liczby idealne zostały wprowadzone w celu usunięcia braku jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w pierścieniach całkowitych liczb pierwszych (zob. pierścień z jednoznacznością rozkładu). Dla każdego $a\in A$ rozkład odpowiedniego dywizora $\phi (a)$ na iloczyn pierwszych liczb idealnych można rozpatrywać jako zamianę jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w przypadku, gdy w pierścieniu $A$ tej jednoznaczności rozkładu nie ma.

Przykład

Pierścień $A$ wszystkich liczb całkowitych ciała $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ składa się ze wszystkich takich liczb $a+b\sqrt{-5},$ gdzie $a,b\in \mathbb{Z}.$ W pierścieniu tym liczba 6 ma dwa różne rozkłady na czynniki:

$6=2\cdot 3=(1-\sqrt{-5})\cdot (1+\sqrt{-5}),$

przy czym liczby $2,3,1-\sqrt{-5},1+\sqrt{-5}$ są różnymi liczbami pierwszymi pierścienia $A.$ Zatem rozkład na czynniki pierwsze w $A$ jest niejednoznaczny. Jednak w półgrupie dywizorów $𝒟$ elementy $\phi (2),\phi (3),\phi (1-\sqrt{-5}),\phi (1+\sqrt{-5})$ nie są proste, a mianowicie:

$\phi (2)={𝔭}_1^2,\phi (3)={𝔭}_2{𝔭}_3,\phi (1-\sqrt{-5})={𝔭}_1{𝔭}_2,\phi (1+\sqrt{-5})={𝔭}_1{𝔭}_3,$

gdzie ${𝔭}_1,{𝔭}_2,{𝔭}_3$ są pierwszymi liczbami idealnymi w $𝒟.$ W taki sposób oba rozkłady liczby 6 na iloczyn czynników pierwszych w pierścieniu $A$ odpowiadają w półgrupie $𝒟$ jednoznacznemu rozkładowi $\phi (6)={𝔭}_1^2{𝔭}_2{𝔭}_3.$

Historia

Na podstawie encyklopedii matematycznej pod redakcją Winogradowa.

Pojęcie liczb idealnych zostało wprowadzone przez Ernsta Kummera przy badaniu arytmetyki ciał podziału koła. Niech $K=\mathbb{Q}(\zeta )$ będzie ciałem podziału koła na $p$ części (gdzie $p$ jest liczbą pierwszą całkowitą), a $A=\mathbb{Z}(\zeta )$ niech będzie pierścieniem liczb całkowitych pierścienia $K.$ Liczbami idealnymi u Kummera były iloczyny idealnych liczb pierwszych. Natomiast idealne liczby pierwsze dzielące daną pierwszą liczbę naturalną $q\ne p$ otrzymuje się, używając twierdzenia Kummera. Wykorzystując fakt, że $A$ ma bazę $1,\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{p-2}$ nad $\mathbb{Z},$ Kummer rozpatrywał rozkład wielomianu podziału koła $F_p(X)$ w ${\mathbb{Z}}_q[X].$ Liczbami idealnymi dzielącymi liczbę $q$ są elementy znajdujące się we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z nieprzywiedlnymi czynnikami rozkładu wielomianu $F_p(X).$ Analogiczną metodą można opracować teorię podzielności w ciałach postaci $\mathbb{Q}(\zeta ,\sqrt[p]{m}),$ gdzie $m\in \mathbb{Q}(\zeta ).$

Rozszerzenia teorii liczb idealnych na przypadek dowolnego ciała liczb algebraicznych dokonali Leopold Kronecker i Richard Dedekind. Prace Kroneckera rozwijały teorię dywizorów, a Dedekind każdej liczbie idealnej przyporządkowywał „ideał” pierścienia $A,$ przez który rozumiał podzbiór $A,$ składający się z 0 i wszystkich takich $a,$ które są podzielne przez daną liczbę idealną. Później pojęcie ideału zostało uogólnione na dowolne pierścienie. Pierścień, w którym pojęcia ideału i dywizora są identyczne nazywa się pierścieniem Dedekinda.

Stan prac nad liczbami idealnymi do roku 1985 opisano w monografii Borewicza i Szafarewicza.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę