Twierdzenie Diniego

Twierdzenie Diniego – kryterium badania zbieżności jednostajnej ciągów funkcyjnych funkcji rzeczywistych.

Twierdzenie

Niech $D \subseteq ℝ$ będzie zbiorem zwartym (np. przedziałem domkniętym), $f_{n}, f : D \to ℝ$ będą funkcjami ciągłymi i $n \in ℕ .$ Jeśli

Niech $(X, d)$ będzie lokalnie zwartą przestrzenią metryczną. $f_{n}, f : X \to ℝ, n \in ℕ$ będą ciągłe. Jeśli ciąg $f_{n}$ jest monotonicznie malejący i punktowo zbieżny do $f,$ to jest niemal jednostajnie zbieżny do $f .$
Niech $X$ będzie zwartą przestrzenią topologiczną i niech $f_{n}$ będzie monotonicznie rosnącym ciągiem funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych, punktowo zbieżnym do ciągłej funkcji $f : X \to ℝ .$ Wówczas ciąg ten jest zbieżny jednostajnie do $f .$