Twierdzenie Krejna-Milmana

Plik:Extreme points.svg

Zbiór wypukły (kolor niebieski) wraz ze swoimi punktami ekstremalnymi (czerwone linie)

Twierdzenie Krejna-Milmana – twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane w 1940 roku przez radzieckich matematyków Marka Krejna i Dawida Milmana. Przy założeniu twierdzenia o ideale pierwszym (BPI) jest ono równoważne aksjomatowi wyboru (AC) na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla:

Zwarty zbiór wypukły lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.

W szczególności $X$ może być przestrzenią unormowaną. Pod nazwą „twierdzenie Krejna-Milmana” rozumie się czasami następujące twierdzenie:

Kula jednostkowa przestrzeni sprzężonej $X^{*}$ do rzeczywistej przestrzeni unormowanej $X$ ma punkt ekstremalny.

Dowód

Szablon:Zobacz też Zbiór $S$ nazywa się zbiorem podpierającym zbioru $C\subseteq X,$ jeżeli $S$ jest takim domkniętym zbiorem afinicznym przecinającym $C,$ dla którego należenie do $S$ pewnego punktu wewnętrznego odcinka zawartego w $C$ pociąga zawieranie całego odcinka. Dowód polega na wykazaniu, iż zbiory podpierające są jednopunktowe, a punkty podpierające to nic innego jak punkty ekstremalne.

Dla dowolnego wektora $x^{*}\in X^{*}$ hiperpłaszczyzna

$H=H(x^{*})=\{x\in X:⟨x^{*},x⟩=\underset{x\in C}{\max }⟨x^{*},x⟩\}$

jest podpierająca. Niech $𝒮$ oznacza rodzinę wszystkich zbiorów podpierających zawartych w $H$ uporządkowaną relacją zawierania – z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje łańcuch maksymalny $ℳ$ w tej rodzinie. Przecięcie $\widehat{𝒮}$ wszystkich zbiorów podpierających z $ℳ$ należy do $ℳ$ (na mocy maksymalności łańcucha); wystarczy dowieść, iż $\widehat{𝒮}$ jest jednopunktowy. Otóż jeśli $\widehat{𝒮}$ zawiera dwa elementy $\xi$ oraz $\eta ,$ to można je rozdzielić za pomocą pewnego funkcjonału ${\hat{x}}^{*}$ (tzn. wybrać taki ${\hat{x}}^{*},$ dla którego $⟨{\hat{x}}^{*},\xi ⟩<⟨{\hat{x}}^{*},\eta ⟩$), a następnie położyć $\widetilde{𝒮}:=\widehat{𝒮}\cup \mathrm{\Gamma },$ gdzie

$\mathrm{\Gamma }=\{x\in X:⟨{\hat{x}}^{*},x⟩=\underset{x\in \widehat{𝒮}\cup C}{\sup }⟨{\hat{x}}^{*},x⟩\}.$

Ponieważ $\widetilde{𝒮}$ jest zbiorem domkniętym mającym infimum z $C,$ a ponadto będącym zarazem zbiorem podpierającym, co przeczy maksymalności $\widehat{𝒮}.$

Jeśli $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}\mathrm{r}C$ oznacza zbiór wszystkich punktów ekstremalnych zbioru $C,$ to domknięcie $\mathrm{c}\mathrm{l}C$ zbioru $C$ jest jego podzbiorem właściwym. Stąd można oddzielić punkt $C\setminus \mathrm{c}\mathrm{l}C$ od zbioru $\mathrm{c}\mathrm{l}C$ za pomocą funkcjonału $\stackrel{*}{\stackrel{‾}{x}}$ i rozważając płaszczyznę podpierającą $H(\stackrel{*}{\stackrel{‾}{x}})$ znaleźć punkt ekstremalny zbioru $C$ nie należący do $\mathrm{c}\mathrm{l}C$ na tej hiperpłaszczyźnie. Sprzeczność ta kończy dowód.

Zobacz też

• twierdzenie Banacha-Alaoglu