Liczby całkowite Eisensteina

Liczby całkowite Eisensteina (nazywane także liczbami Eisensteina-Jacobiego) – liczby postaci $a+b\omega ,$ gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi,

$\omega =\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=e^{\frac{2}{3}\pi i},$

oraz $i$ jest jednostką urojoną. $\omega$ jest pierwiastkiem zespolonym równania $z^2+z+1=0$. Zarówno suma, różnica, jak i iloczyn liczb Eisensteina również są liczbami Eisensteina, tworzą więc one pierścień. Pierścień ten jest euklidesowy z normą $N$ daną wzorem

$N(a+b\omega )=|a+b\omega {|}^2=a^2-ab+b^2$.

W szczególności, pierścień liczb całkowitych Eisensteina jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

Na płaszczyźnie zespolonej liczby całkowite Eisensteina są węzłami regularnej sieci trójkątnej (złożonej z trójkątów równobocznych, jak na rysunkach poniżej).

Zbiór liczb pierwszych Eisensteina jest (z dokładnością do mnożenia przez niżej wspomniane elementy odwracalne) sumą dwóch zbiorów:

1. zbioru liczb $a+b\omega ,$ takich że $a$ jest liczbą pierwszą, taką że $a\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ oraz $b=0,$
2. zbioru liczb $a+b\omega ,$ takich że $N(a+b\omega )$ jest taką liczbą pierwszą $p,$ że $p\equiv 1(\mathrm{mod}3).$

Liczby pierwsze Eisensteina mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze Eisensteina zostały wyróżnione kolorem zielonym, a elementy odwracalne kolorem czerwonym.

Grupa elementów odwracalnych pierścienia liczb całkowitych Eisensteina jest sześcioelementowa i składa się z liczb:

$+1,-1,+\omega ,-\omega ,+{\omega }^2=-1-\omega ,-{\omega }^2=1+\omega$.

Na płaszczyźnie zespolonej można ją zinterpretować jako grupę obrotów dokoła początku układu współrzędnych generowaną przez obrót o 60° (na przykład w kierunku przeciwnym do obrotu wskazówek zegara). Wynika stąd, że liczb pierwszych Eisensteina wystarczy szukać wewnątrz jakiegokolwiek kąta o mierze 60° o wierzchołku w punkcie 0 (np. kąta, którego pierwsze ramię pokrywa się z dodatnią półosią osi odciętych, a drugie ramię przechodzi przez punkt $1+\omega$).

Przykłady

Małe liczby pierwsze Eisensteina. Te, które leżą na zielonych osiach, odpowiadają całkowitym liczbom pierwszym postaci $3n-1.$

1. Liczbami pierwszymi Eisensteina są następujące liczby naturalne: 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101.
2. Liczbami pierwszymi Eisensteina nie są liczby 3 ani 7, bo $3=-(1+2\omega {)}^2,7=(3+\omega )(2-\omega ).$
3. Liczbami pierwszymi Eisensteina są liczby $2+\omega ,3+\omega ,4+\omega ,5+2\omega .$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld