Odwzorowanie regularne

Odwzorowanie regularne – rodzaj odwzorowania różniczkowalnego w analizie matematycznej.

Definicja

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami unormowanymi oraz $D$ niepustym podzbiorem $X.$ Odwzorowanie $F:D\to Y$ nazywamy regularnym, jeśli

1. $D$ jest zbiorem otwartym,
2. $F$ jest klasy $C^1$(tzn. jest ciągła i ma ciągłą pochodną),
3. ${\mathrm{\forall }}_{x\in D}$$dF(x)$ jest ciągłym izomorfizmem liniowym $X$ do $Y.$

Twierdzenia

• Jeśli $X,Y$ są przestrzeniami Banacha, $D\subseteq X,$ a odwzorowanie $F:D\to Y$ jest regularne, to dla każdego otwartego $U\subseteq D$ zbiór $F(U)$ jest otwarty.
• Złożenie odwzorowań regularnych jest regularne.
• Każdy dyfeomorfizm jest odwzorowaniem regularnym, lecz nie na odwrót.

Przykład:

Odwzorowanie $F:(0,\mathrm{\infty })\times ℝ\to {ℝ}^2$ określone wzorem $F(x_1,x_2)=(x_1\cos x_2,x_1\sin x_2)$ jest regularne, ale nie jest dyfeomorfizmem, gdyż nie jest odwracalne (ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych).

Zobacz też

• dyfeomorfizm
• homeomorfizm
• rozmaitość różniczkowa

Bibliografia

• Kołodziej Witold: Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, Warszawa: PWN, 1974.