Gra w chaos

Liść paproci wygenerowany za pomocą gry w chaos

Gra w chaos – algorytm komputerowego generowania obrazów pewnych fraktali. Generuje on przybliżony obraz atraktora lub punktu stałego dowolnego systemu funkcji iterowanych.

Algorytm

Zaczynając od pewnego punktu $x_0,$ kolejne iteracje są dane przy pomocy wzoru $x_{n+1}=f_i(x_n),$ gdzie $f_i(x)$ jest jedną z funkcji iterowanych wybieraną niezależnie i losowo dla każdej iteracji. Iteracje zbiegają się do punktu stałego systemu funkcji iterowanych. Jeżeli wartość początkowa $x_0$ należy do atraktora systemu funkcji iterowanych, wówczas wszystkie punkty $x_n$ również należą do tego atraktora i z prawdopodobieństwem 1 tworzą w nim zbiór gęsty. Prawdziwy jest znacznie ogólniejszy rezultat.

Twierdzenie o grze w chaos (zob.): Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną zupełną, zaś $ℱ=\{f_i{\}}_{i=1}^m$ iterowanym układem funkcyjnym (IFS) złożonym z przekształceń zwężających $f_i:X\to X.$ Niech $x_{n+1}=f_{i_n}(x_n)$ będzie orbitą startującą w dowolnym punkcie $x_0\in X.$ Wówczas atraktor $A$ układu $ℱ$ (który istnieje w myśl twierdzenia Hutchinsona) odtwarzany jest przez zbiór punktów skupienia $\omega ((x_n))=\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\overline{\{x_n:n⩾k\}}$ orbity $x_n:$

• (wersja probabilistyczna) $A=\omega ((x_n))$ z prawdopodobieństwem 1, jeśli tylko ciąg $i_n,n=1,2,\dots ,$ sterujący wyborem funkcji w n-tym kroku iteracji, jest losowany z użyciem schematu Bernoulliego na zbiorze $\{1,\dots ,m\};$
• (wersja zderandomizowana) $A=\omega ((x_n)),$ jeśli tylko ciąg $i_n,n=1,2,\dots ,$ jest dyzjunktywny nad alfabetem $\{1,\dots ,m\},$ tzn. dowolny łańcuch skończony nad $\{1,\dots ,m\}$ pojawia się w $i_n.$

W przypadku układów kontrakcji wariant probabilistyczny twierdzenia o grze w chaos (używający schematu Bernoulliego) wynika z wariantu dyzjunktywnego. Dzieje się tak, gdyż schemat Bernoulliego generuje ciągi dyzjunktywne prawie na pewno.

Przykład dla trójkąta Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego

Na początku stawia się na płaszczyźnie 3 dowolne punkty (powinny być niewspółliniowe, gdyż inaczej fraktal zdegeneruje się do odcinka), po czym wybiera sobie kolejny punkt płaszczyzny, zwany punktem gry (game point). Następnie wybiera się dowolny z trzech punktów obranych na samym początku (można je oznaczyć 1, 2 i 3, po czym korzystając z generatora liczb losowych, wybierać je) i stawia punkt w połowie odległości między czwartym punktem a tym wybranym. Powtarza się ten krok, za każdym razem oznaczając punkt leżący dokładnie w połowie odległości między ostatnio postawionym a jednym z trzech pierwszych.

Efektem algorytmu – zakładając, że punkty były losowane z mniej więcej takim samym prawdopodobieństwem – jest pewien wariant trójkąta Sierpińskiego. Jego wierzchołkami są trzy punkty wybrane na samym początku gry.

Zobacz też

• dywan Sierpińskiego
• kostka Mengera