Gaz Fermiego

Gaz Fermiego (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) – model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

Opis matematyczny

Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Foka można zapisać, wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:

$\hat{H}=\sum _n{ϵ}_n{a}_n^{†}{a}_n=\sum _n(E_n+\mu )a_n^{†}{a}_n,$

gdzie:

$E_n$ – energia $n$-tego stanu,

$\mu$ – potencjał chemiczny.

Energia wewnętrzna gazu Fermiego

Do dalszych obliczeń przyjmiemy $\mu =0.$

Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:

$N=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dE\rho (E)\frac{1}{\exp (\beta E)+1},$

gdzie:

$\rho (E)=\frac{2\pi V(2m{)}^{\frac{3}{2}}}{h^3}\sqrt{E}$ – gęstość stanów,

$m$ – masa fermionów,

$h$ – stała Plancka,

$V$ – objętość, w której znajdują się fermiony,

$\frac{1}{\exp (\beta E)+1}$ – rozkład Fermiego-Diraca,

$\beta =\frac{1}{k_{B}T}$ – czynnik Boltzmanna,

$N=\frac{2\pi V(2m{)}^{\frac{3}{2}}}{h^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dE\sqrt{E}\frac{1}{\exp (\beta E)+1}.$

Stosując proste podstawienie otrzymujemy:

$N=\frac{2\pi V(2m{)}^{\frac{3}{2}}}{h^3}{\beta }^{-\frac{3}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\exp (x)+1}.$

Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2 $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)\eta \left(\frac{3}{2}\right).$ Ostatecznie otrzymujemy:

$N=\frac{2\pi V(2m{)}^{\frac{3}{2}}}{h^3}(k_{B}T{)}^{\frac{3}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)\eta \left(\frac{3}{2}\right).$

Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:

$U=\frac{2\pi V(2m{)}^{\frac{3}{2}}}{h^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dE\frac{E^{\frac{3}{2}}}{\exp (\beta E)+1},$

otrzymujemy:

$U=\frac{2\pi V(2m{)}^{\frac{3}{2}}}{h^3}(k_{B}T{)}^{\frac{5}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{5}{2}\right)\eta \left(\frac{5}{2}\right).$

Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:

$U=\frac{5}{2}\frac{\eta \left(\frac{5}{2}\right)}{\eta \left(\frac{3}{2}\right)}N{k}_{B}T\propto N{k}_{B}T.$

Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.

Ciśnienie gazu Fermiego

Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:

$p=\frac{\partial U}{\partial V}=\frac{5}{2}\frac{\eta \left(\frac{5}{2}\right)}{\eta \left(\frac{3}{2}\right)}\frac{\partial N}{\partial V}{k}_{B}T.$

Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy

$\frac{\partial N}{\partial V}=\frac{N}{V}=n,$

gdzie:

$n$ – liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek. Stąd

$p=\frac{5}{2}\frac{\eta \left(\frac{5}{2}\right)}{\eta \left(\frac{3}{2}\right)}n{k}_{B}T\propto n{k}_{B}T.$

Zobacz też

• ciecz Fermiego
• kondensat Bosego-Einsteina
• kondensat fermionów
• materia zdegenerowana