Bryła obrotowa

Bryła obrotowa – bryła geometryczna ograniczona powierzchnią obrotową, czyli powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej, zwanej osią obrotu.

Do brył obrotowych zaliczane są m.in.:

• walec kołowy prosty,
• stożek,
• kula,
• torus,
• beczka,
• elipsoida obrotowa,
• paraboloida obrotowa,
• hiperboloida obrotowa.

Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej

Wykres funkcji zmiennej x

Bryła powstała wskutek obrotu obszaru pod wykresem funkcji $f(x)$ wokół osi OX

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji $y=f(x),$ gdzie $x\in ⟨a,b⟩,$ dookoła osi OX.

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(x){]}^{2}dx$

Pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji $y=f(x),$ gdzie $x\in ⟨a,b⟩,$ dookoła osi OXSzablon:R.

$S=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji $y=f(x),$ gdzie $x\in ⟨a,b⟩,a⩾0,$ dookoła osi OYSzablon:R.

$V=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}xf(x)dx$

Pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji $y=f(x),$ gdzie $x\in ⟨a,b⟩,a⩾0,$ dookoła osi OYSzablon:R.

$S=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

Krzywa w postaci parametrycznej

$x=x(t),y=y(t);t\in ⟨\alpha ,\beta ⟩$

Objętość bryły powstałej przez obrót krzywej wokół osi OXSzablon:R.

$V=\pi \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}|x^{\prime }(t)|y^2(t)dt$

Pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej wokół osi OXSzablon:R.

$S=2\pi \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}y(t)\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$

Objętość bryły powstałej przez obrót krzywej wokół osi OYSzablon:R.

$V=2\pi \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{x}^{\prime }(t)x(t)y(t)dt$

Pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej wokół osi OYSzablon:R.

$S=2\pi \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}x(t)\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$

W wielu przypadkach obliczanie objętości bryły obrotowej lub pola jej powierzchni ułatwiają twierdzenia Pappusa.