Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Szablon:Spis treści Twierdzenie Kroneckera-Capellego – twierdzenie algebry liniowej dające kryterium istnienia rozwiązań układu równań liniowych i umożliwiające ich klasyfikację (która, opisana w niniejszym artykule jako „wniosek”, jest często przytaczana w samym twierdzeniu); stanowi ono uogólnienie opisu rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych zawartego w twierdzeniu o rzędzie na przypadek niejednorodny.

Jako pierwszy miał je udowodnić Georges Fontené (co zaznaczył w swoim piśmie do Nouvelles Annales de Mathématiques z listopada 1875 roku), przed Eugènem Rouchém, który opublikował wcześniej w 1875 roku pierwszą wersję twierdzenia, a następnie pełniejszą w 1880 roku. Gdy Ferdinand Georg Frobenius powoływał się na to twierdzenie w swoich pracach, przypisywał je Rouchému i Fontenému. Alfredo Capelli miał być pierwszym, który wyraził to twierdzenie w języku macierzy (za pomocą pojęcia rzędu). Wersja Leopolda Kroneckera pojawiła się w jego wykładach o teorii wyznaczników.

Polska nazwa twierdzenia (stosowana również m.in. w Rosji) nosi nazwiska Kroneckera i Capellego, choć we Włoszech przypisuje się je Rouchému i Capellemu, a we Francji wynik ten nazywa się twierdzeniem Rouchégo-Fontenégo; w Hiszpanii znane jest ono jako twierdzenie Rouchégo-Frobeniusa, najprawdopodobniej za sprawą hiszpańsko-argentyńskiego matematyka Julia Reya Pastora, który określał je w ten sposób.

Twierdzenie

Szablon:Zobacz też Niech dany będzie układ równań liniowych $𝐀𝐗=𝐁,$ gdzie rząd macierzy $𝐀$ typu $m\times n$ (co oznacza, że $n$ jest liczbą niewiadomych, a $m$ określa liczbę równań) wynosi $r,$ z macierzą rozszerzoną $𝐔=[𝐀|𝐁]$ rzędu $s.$ Układ ten ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $r=s.$

Wniosek

Ponieważ zbiór rozwiązań układu zależy od $n-r$ parametrów w sposób afiniczny (tworzy przestrzeń afiniczną tego wymiaru), to w przypadku $r=s=n$ rozwiązanie układu wyznaczone jest jednoznacznie (zerowymiarowa przestrzeń opisuje punkt). Jeśli układ jest jednorodny, to zbiór rozwiązań zależy od $n-r$ parametrów w sposób liniowy (tworzy przestrzeń liniową tego wymiaru) i wtedy jednoznaczność rozwiązania oznacza jego trywialność, tj. $𝐗=\mathrm{𝟎}.$

Dowód

Niech ${𝐚}_1,\dots ,{𝐚}_n$ będą wektorami odpowiadającymi kolejnym kolumnom macierzy $𝐀,$ zaś wektorom kolumnowym $𝐗,𝐁$ odpowiadają wektory $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$ oraz $𝐛.$ Wektor $𝐱$ jest rozwiązaniem układu wtedy i tylko wtedy, gdy $x_1{𝐚}_1+\dots +x_n{𝐚}_n=𝐛,$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $𝐛$ należy do powłoki liniowej $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}({𝐚}_1,\dots ,{𝐚}_n),$ co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar tej powłoki nie zwiększa się po dodaniu do niej wektora $𝐛,$ tj. $\dim \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}({𝐚}_1,\dots ,{𝐚}_n)=\dim \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}({𝐚}_1,\dots ,{𝐚}_n,𝐛).$ Wynika stąd, że przestrzeń wektorów kolumnowych macierzy $𝐀$ oraz $𝐔$ mają równe wymiary, co oznacza równość rzędów tych macierzy.

Zobacz też

• twierdzenie o rzędzie
• wzory Cramera

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Kronecker-Capelli theorem Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].