Kombinacja afiniczna

Szablon:Spis treści Kombinacja afiniczna – szczególny przypadek kombinacji liniowej w przestrzeniach liniowych, mający zastosowania przede wszystkim w przestrzeniach afinicznych, a więc i euklidesowych; z tego względu istotne w geometrii euklidesowej.

Definicja formalna

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K .$ Kombinacja afiniczna wektorów $𝐱_{1}, \dots, 𝐱_{n} \in V$ o współczynnikach $a_{1}, \dots, a_{n} \in K$ to wektor

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} 𝐱_{i} = a_{1} 𝐱_{1} + \dots + a_{n} 𝐱_{n},

nazywany kombinacją liniową wektorów $𝐱_{1}, \dots, 𝐱_{n} \in V,$ którego suma współczynników wynosi $1,$ czyli

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 1 .

Uwagi

W szczególności przestrzeń liniowa $V$ może być stowarzyszona z dowolną przestrzenią afiniczną $A$ (w tym także z samą przestrzenią $V$ jako przestrzenią afiniczną stowarzyszoną samą ze sobą). Nomenklatura stosowana wraz z tym pojęciem nie odbiega od opisanej w artykule opisującym kombinacje liniowe.

Kombinacja afiniczna punktów stałych przekształcenia afinicznego również jest punktem stałym, tak więc punkty stałe stanowią podprzestrzeń afiniczną (w przestrzeni trójwymiarowej: prostą lub płaszczyznę, a w przypadkach trywialnych punkt lub całą przestrzeń).

Przykłady

Szablon:Zobacz też

Płaszczyzna $ℝ^{2}$

Wektor $𝐱 = [1, 2]$ jest kombinacją afiniczną

𝐱 = a_{1} 𝐱_{1} + a_{2} 𝐱_{2}

wektorów $𝐱_{1} = [0, 2]$ oraz $𝐱_{2} = [- 1, 2]$ ze współczynnikami $a_{1} = 2, a_{2} = - 1,$ gdyż

[1, 2] = 2 [0, 2] + (- 1) [- 1, 2] .

Ten sam wektor $𝐱$ jest kombinacją afiniczną $𝐱_{1} = 𝐱_{2} = 𝐱$ z dowolnymi współczynnikami sumującymi się do jedności, np. powyższymi lub $\frac{1}{2}, \frac{1}{2} .$

Przestrzeń $ℝ^{3}$

Wektor $𝐱 = [1, - 3, 2]$ może być przedstawiony jako kombinacja afiniczna (jest to zarazem kombinacja wypukła)

𝐱 = a_{1} 𝐱_{1} + a_{2} 𝐱_{2} + a_{3} 𝐱_{3}

wektorów $𝐱_{1} = [1, 0, 2], 𝐱_{2} = [2, 4, 3], 𝐱_{3} = [0, - 8, 1]$ o współczynnikach $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{2} = \frac{1}{4}, a_{3} = \frac{1}{4},$ ponieważ

[1, - 3, 2] = [\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{0}{4}, \frac{0}{2} + \frac{4}{4} - \frac{8}{4}, \frac{2}{2} + \frac{4}{4} + \frac{1}{4}] = \frac{1}{2} [1, 0, 2] + \frac{1}{4} [2, 4, 3] + \frac{1}{4} [0, - 8, 1] .

Zobacz też

Bibliografia

Szablon:Cytuj książkę (zob. rozdział 2)